Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1578

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1578

Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершённый сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объём его равен

V

Ответ:

R=(3V/(5\pi))^{1/3}

; высота цилиндрической части

H=R

, полная высота

2R

S_{\min}=5\pi R^2

Решение

Пусть

R

— радиус цилиндра и полушара, а

H

— высота цилиндрической части тела.
Объём тела складывается из объёма цилиндра и объёма полушара

V = \pi R^2 H + \frac{2}{3}\pi R^3 \implies H = \frac{V}{\pi R^2} - \frac{2}{3}R

Полная поверхность тела состоит из площади нижнего основания цилиндра, его боковой поверхности и поверхности полушара

S = \pi R^2 + 2\pi R H + 2\pi R^2 = 3\pi R^2 + 2\pi R H

Подставим выражение для высоты

H

в формулу поверхности

S(R) = 3\pi R^2 + 2\pi R \left(\frac{V}{\pi R^2} - \frac{2}{3}R\right) = 3\pi R^2 + \frac{2V}{R} - \frac{4}{3}\pi R^2 = \frac{5}{3}\pi R^2 + \frac{2V}{R}

Найдём производную функции поверхности по радиусу

S'(R) = \frac{10}{3}\pi R - \frac{2V}{R^2}

Приравняем производную к нулю для нахождения минимума

\frac{10}{3}\pi R - \frac{2V}{R^2} = 0 \implies \frac{10}{3}\pi R^3 = 2V \implies R^3 = \frac{3V}{5\pi} \implies R = \sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi}}

Поскольку вторая производная

S''(R) = \frac{10}{3}\pi + \frac{4V}{R^3} > 0

, найденный радиус соответствует минимуму полной поверхности.
Найдём высоту цилиндрической части

H

H = \frac{V}{\pi R^2} - \frac{2}{3}R = \frac{1}{R^2} \left( \frac{5\pi R^3}{3\pi} \right) - \frac{2}{3}R = \frac{5}{3}R - \frac{2}{3}R = R

Таким образом, наименьшая полная поверхность достигается, когда высота цилиндрической части равна радиусу полушара:

H = R

Проверка

Объём положителен, и для цилиндрической части положительной высоты требуется

0<R<(3V/(2\pi))^{1/3}

. Найденный радиус

R_0=(3V/(5\pi))^{1/3}

лежит в этом интервале. Знак

S'

отрицателен до

R_0

и положителен после, поэтому минимум абсолютный в геометрически допустимой области. При

H=R_0

полная высота тела равна

2R_0

, а площадь поверхности —

3\pi R_0^2+2\pi R_0^2=5\pi R_0^2