Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1590

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1590

В чашку, имеющую форму полушара радиуса aa, опущен стержень длины l>2al>2a. Найти положение равновесия стержня.
Ответ:При 2a<l<4a2a<l<4a: α=arccos⁡((l+l2+128a2)/(16a))\alpha=\arccos\bigl((l+\sqrt{l^2+128a^2})/(16a)\bigr). При l=4al=4a — предельное горизонтальное положение α=0\alpha=0. При l>4al>4a наклонного равновесия с концом внутри чашки и опорой на один край нет.

Решение

Рассмотрим однородный тонкий стержень без трения: один конец BB находится на внутренней поверхности чашки, а стержень опирается на её край в точке AA. Ищем наклонное равновесие в вертикальной плоскости через центр чашки. Обозначим угол подъёма стержня от BB к AA через α\alpha, 0<α<π/20<\alpha<\pi/2.

Поместим начало координат в центр полусферы, направим ось OyOy вверх и возьмём A=(a,0)A=(a,0). Если s=ABs=AB, тоB=(a−scos⁡α,−ssin⁡α).B=(a-s\cos\alpha,-s\sin\alpha).Точка BB лежит на окружности радиуса aa, поэтому(a−scos⁡α)2+s2sin⁡2α=a2,s2−2ascos⁡α=0.(a-s\cos\alpha)^2+s^2\sin^2\alpha=a^2,
\qquad s^2-2as\cos\alpha=0.Так как s>0s>0, получаем AB=2acos⁡αAB=2a\cos\alpha. Центр тяжести CC находится на расстоянии l/2l/2 от BB. Его высота над плоскостью края равнаyC=−2acos⁡αsin⁡α+l2sin⁡α=(l2−2acos⁡α)sin⁡α.y_C=-2a\cos\alpha\sin\alpha+\frac l2\sin\alpha
=\left(\frac l2-2a\cos\alpha\right)\sin\alpha.Для устойчивого равновесия в этом семействе положений потенциальная энергия, а значит и yCy_C, должна иметь минимум. НаходимyC′(α)=l2cos⁡α−2acos⁡2α.y_C'(\alpha)=\frac l2\cos\alpha-2a\cos2\alpha.Положим c=cos⁡αc=\cos\alpha. Уравнение производной имеет видl2c−2a(2c2−1)=0,8ac2−lc−4a=0.\frac l2c-2a(2c^2-1)=0,
\qquad 8ac^2-lc-4a=0.Дискриминант равен l2−4⋅8a⋅(−4a)=l2+128a2l^2-4\cdot8a\cdot(-4a)=l^2+128a^2. Один корень отрицателен, а другой равенc∗=l+l2+128a216a.c_* =\frac{l+\sqrt{l^2+128a^2}}{16a}.Но положительности недостаточно: для наклонного стержня необходимо c∗<1c_*<1. Это равносильноl2+128a2<16a−l.\sqrt{l^2+128a^2}<16a-l.Правая часть должна быть положительной. После возведения в квадрат получаемl2+128a2<256a2−32al+l2⟺l<4a.l^2+128a^2<256a^2-32al+l^2
\quad\Longleftrightarrow\quad l<4a.При 2a<l<4a2a<l<4a это условие выполнено, иα=arccos⁡l+l2+128a216a.\boxed{\alpha=\arccos\frac{l+\sqrt{l^2+128a^2}}{16a}}.Проверим минимум на всём допустимом промежутке. При α=0\alpha=0 производная равна l/2−2a<0l/2-2a<0, а при α=π/2\alpha=\pi/2 — 2a>02a>0. Квадратное уравнение имеет ровно один корень с 0<c<10<c<1, поэтому между этими концами производная меняет знак только один раз, с минуса на плюс.

При l=4al=4a формула даёт α=0\alpha=0: это предельное горизонтальное положение, а не наклонное равновесие. При l>4al>4a получаем c∗>1c_*>1, поэтому наклонного равновесия с указанными двумя опорами нет. Эти выводы относятся к стержню, опущенному одним концом в чашку; горизонтальный стержень, положенный поперёк обоих краёв, представляет другую схему опоры.
Демидович № 1590 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика