Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1590

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1590

В чашку, имеющую форму полушара радиуса aa, опущен стержень длины l>2al>2a. Найти положение равновесия стержня.

Решение

Идея

Для положения устойчивого равновесия система стремится занять положение с наименьшей потенциальной энергией, что эквивалентно требованию минимальной высоты центра тяжести стержня.
Пусть стержень опирается одним концом (назовём его BB) о внутреннюю поверхность полусферы, а другой точкой опирается на край чашки (назовём эту точку AA). Обозначим через α\alpha угол наклона стержня к горизонту (0<α<π2)\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right).
Так как полуокружность опирается на диаметр чашки, угол, опирающийся на диаметр, прямой. Следовательно, отрезок стержня внутри чашки ABAB образует прямоугольный треугольник с диаметром 2a2a, и длина опирающейся части стержня равна:AB=2acos⁡αAB = 2a\cos\alphaЦентр тяжести стержня (точка CC) находится на его середине, то есть на расстоянии l2\frac{l}{2} от нижнего конца BB.
Примем за уровень отсчёта (y=0y=0) горизонтальную плоскость, проходящую через край чашки (точку AA). Ось OyOy направим вертикально вверх.

Проверка

Координата yy нижнего конца стержня BB:yB=−ABsin⁡α=−2acos⁡αsin⁡α=−asin⁡2αy_B = -AB\sin\alpha = -2a\cos\alpha\sin\alpha = -a\sin 2\alphaТак как мы поднимаемся от точки BB вдоль стержня на расстояние l2\frac{l}{2} под углом α\alpha к горизонту, ордината центра тяжести будет равна:yC(α)=yB+l2sin⁡α=l2sin⁡α−asin⁡2αy_C(\alpha) = y_B + \frac{l}{2}\sin\alpha = \frac{l}{2}\sin\alpha - a\sin 2\alphaЧтобы найти минимум высоты центра тяжести, возьмём производную по α\alpha:yC′(α)=l2cos⁡α−2acos⁡2αy_C'(\alpha) = \frac{l}{2}\cos\alpha - 2a\cos 2\alphaПриравняем производную к нулю и воспользуемся формулой двойного угла cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1:l2cos⁡α−2a(2cos⁡2α−1)=0  ⟹  4acos⁡2α−l2cos⁡α−2a=0\frac{l}{2}\cos\alpha - 2a(2\cos^2\alpha - 1) = 0 \implies 4a\cos^2\alpha - \frac{l}{2}\cos\alpha - 2a = 0Умножим уравнение на 22:8acos⁡2α−lcos⁡α−4a=08a\cos^2\alpha - l\cos\alpha - 4a = 0Решим полученное квадратное уравнение относительно cos⁡α\cos\alpha:cos⁡α=l±l2−4⋅8a⋅(−4a)16a=l±l2+128a216a\cos\alpha = \frac{l \pm \sqrt{l^2 - 4 \cdot 8a \cdot (-4a)}}{16a} = \frac{l \pm \sqrt{l^2 + 128a^2}}{16a}Поскольку α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), косинус должен быть положительным. Знак "минус" даёт отрицательный корень (т.к. l2+128a2>l\sqrt{l^2 + 128a^2} > l), поэтому нам подходит только знак "плюс":cos⁡α=l+l2+128a216a\cos\alpha = \frac{l + \sqrt{l^2 + 128a^2}}{16a}При переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс, что соответствует минимуму функции yC(α)y_C(\alpha). Таким образом, найденный угол определяет положение устойчивого равновесия стержня.
Демидович № 1590 — решение