Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1559

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1559

Найти наименьшее значение суммы

m

-й и

n

-й степеней

(m>0,n>0)

двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно

a

Ответ:

S_{\min}=(m+n)(a^{mn}/(m^mn^n))^{1/(m+n)}

при

x=a^{n/(m+n)}(n/m)^{1/(m+n)}

y=a^{m/(m+n)}(m/n)^{1/(m+n)}

Решение

Пусть одно из чисел равно

x > 0

, тогда второе число равно

\frac{a}{x}

. Сумма их

m

-й и

n

-й степеней задаётся функцией

S(x) = x^m + \left(\frac{a}{x}\right)^n = x^m + a^n x^{-n}

Найдём производную функции

S'(x) = mx^{m-1} - na^n x^{-n-1} = \frac{mx^{m+n} - na^n}{x^{n+1}}

Приравняем числитель производной к нулю для нахождения критической точки

mx^{m+n} - na^n = 0 \implies x^{m+n} = \frac{n}{m}a^n \implies x_0 = a^{\frac{n}{m+n}}\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{m+n}}

При

0 < x < x_0

числитель производной отрицателен,

S'(x) < 0

, функция убывает.
При

x > x_0

числитель положителен,

S'(x) > 0

, функция возрастает.
Следовательно, в точке

x_0

достигается наименьшее значение суммы. Второе число при этом равно

y_0 = \frac{a}{x_0} = \frac{a}{a^{\frac{n}{m+n}}\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{m+n}}} = a^{1-\frac{n}{m+n}}\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{1}{m+n}} = a^{\frac{m}{m+n}}\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{1}{m+n}}

Вычислим наименьшее значение суммы

S_{\min} = x_0^m + y_0^n = a^{\frac{mn}{m+n}}\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{m}{m+n}} + a^{\frac{mn}{m+n}}\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{n}{m+n}} = a^{\frac{mn}{m+n}} \left( \frac{n^{\frac{m}{m+n}}}{m^{\frac{m}{m+n}}} + \frac{m^{\frac{n}{m+n}}}{n^{\frac{n}{m+n}}} \right)

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю

\frac{n^{\frac{m}{m+n}}n^{\frac{n}{m+n}} + m^{\frac{n}{m+n}}m^{\frac{m}{m+n}}}{m^{\frac{m}{m+n}}n^{\frac{n}{m+n}}} = \frac{n^{\frac{m+n}{m+n}} + m^{\frac{m+n}{m+n}}}{m^{\frac{m}{m+n}}n^{\frac{n}{m+n}}} = \frac{n + m}{\left(m^m n^n\right)^{\frac{1}{m+n}}}

Окончательно получаем

S_{\min} = (m+n) \left(\frac{a^{mn}}{m^m n^n}\right)^{\frac{1}{m+n}}

Проверка

Так как произведение положительных чисел равно

a

, имеем

a>0

. При

x>0

знаменатель

x^{n+1}

положителен, а числитель

mx^{m+n}-na^n

строго возрастает от отрицательного значения до бесконечности. Поэтому его единственный нуль разделяет всю область на интервал убывания и интервал возрастания; найденный минимум абсолютный.