Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1564

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью.

Решение

Идея

Рассмотрим окружность радиуса

R

с центром в начале координат. Уравнение окружности:

x^2 + y^2 = R^2

.
Пусть круговой сегмент отсекается прямой

y = h

, где

0 \le h < R

(условие того, что сегмент не превышает полукруга).
Мы вписываем прямоугольник, одна сторона которого лежит на хорде

y = h

, а две другие вершины опираются на дугу окружности. Пусть координаты правой верхней вершины прямоугольника равны

(x, y)

, где

x > 0

y > h

.
Тогда точка лежит на окружности

Проверка

x = \sqrt{R^2 - y^2}

Ширина прямоугольника равна

2x

, а высота равна

y - h

. Площадь прямоугольника можно выразить как функцию от

y

S(y) = 2x(y - h) = 2\sqrt{R^2 - y^2}(y - h)

Найдём первую производную функции

S'(y) = 2 \left( \frac{-y}{\sqrt{R^2 - y^2}}(y - h) + \sqrt{R^2 - y^2} \right) = 2 \frac{-y(y-h) + R^2 - y^2}{\sqrt{R^2 - y^2}}

S'(y) = 2 \frac{R^2 + hy - 2y^2}{\sqrt{R^2 - y^2}}

Приравняем числитель к нулю для нахождения экстремума

2y^2 - hy - R^2 = 0

Решим квадратное уравнение относительно

y

D = h^2 - 4(2)(-R^2) = h^2 + 8R^2

y = \frac{h \pm \sqrt{h^2 + 8R^2}}{4}

Поскольку

y

должно быть положительным и больше

h

, берём корень со знаком плюс

y = \frac{h + \sqrt{h^2 + 8R^2}}{4}

При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус (так как парабола в числителе

-2y^2 + hy + R^2

направлена ветвями вниз), следовательно, в этой точке площадь достигает максимума.
Тогда высота прямоугольника

H = y - h

и ширина

W = 2\sqrt{R^2 - y^2}

определяют искомый прямоугольник