Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций
Демидович — задача 1564
Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.
Задача 1564
В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью.
Ответ:При радиусе круга R и расстоянии h от центра до хорды: y0=(h+h2+8R2)/4, высота y0−h, ширина 2R2−y02.
Решение
Рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале координат. Уравнение окружности: x2+y2=R2.
Пусть круговой сегмент отсекается прямой y=h, где 0≤h<R (условие того, что сегмент не превышает полукруга).
Мы вписываем прямоугольник, одна сторона которого лежит на хорде y=h, а две другие вершины опираются на дугу окружности. Пусть координаты правой верхней вершины прямоугольника равны (x,y), где x>0 и y>h.
Тогда точка лежит на окружностиx=R2−y2Ширина прямоугольника равна 2x, а высота равна y−h. Площадь прямоугольника можно выразить как функцию от yS(y)=2x(y−h)=2R2−y2(y−h)Найдём первую производную функцииS′(y)=2(R2−y2−y(y−h)+R2−y2)=2R2−y2−y(y−h)+R2−y2S′(y)=2R2−y2R2+hy−2y2Приравняем числитель к нулю для нахождения экстремума2y2−hy−R2=0Решим квадратное уравнение относительно yD=h2−4(2)(−R2)=h2+8R2y=4h±h2+8R2Поскольку y должно быть положительным и больше h, берём корень со знаком плюсy=4h+h2+8R2При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус (так как парабола в числителе −2y2+hy+R2 направлена ветвями вниз), следовательно, в этой точке площадь достигает максимума.
Тогда высота прямоугольника H=y−h и ширина W=2R2−y2 определяют искомый прямоугольник
Допустимо h<y<R. Для числителя производной g(y)=R2+hy−2y2 имеем g(h)=R2−h2>0, g(R)=R(h−R)<0, а g′(y)=h−4y<0 при y>h⩾0. Поэтому корень y0=(h+h2+8R2)/4 единственен и действительно лежит внутри (h,R). Это доказывает абсолютный максимум, а не только выбор положительного корня квадратного уравнения.
Искомая высота H=y0−h=(h2+8R2−3h)/4, ширина W=2R2−y02. Для полукруга h=0 получаем y0=R/2, H=R/2, W=2R; это проверяет формулу в граничном случае.
Пусть круговой сегмент отсекается прямой y=h, где 0≤h<R (условие того, что сегмент не превышает полукруга).
Мы вписываем прямоугольник, одна сторона которого лежит на хорде y=h, а две другие вершины опираются на дугу окружности. Пусть координаты правой верхней вершины прямоугольника равны (x,y), где x>0 и y>h.
Тогда точка лежит на окружности
Тогда высота прямоугольника H=y−h и ширина W=2R2−y2 определяют искомый прямоугольник
Проверка
У вписанного прямоугольника одна сторона действительно должна лежать на хорде сегмента. Если три его вершины лежали бы на окружности, то и четвёртая лежала бы на ней: все вершины прямоугольника равноудалены от пересечения диагоналей. Такой прямоугольник имел бы центр в центре круга и не мог бы целиком лежать в сегменте, не превышающем полукруга. Значит, две вершины лежат на хорде. Они соседние, поскольку прямая через противоположные вершины разделяла бы остальные вершины по разные стороны хорды. Верхние вершины лежат на дуге на одинаковой высоте, поэтому их абсциссы равны ±x.Допустимо h<y<R. Для числителя производной g(y)=R2+hy−2y2 имеем g(h)=R2−h2>0, g(R)=R(h−R)<0, а g′(y)=h−4y<0 при y>h⩾0. Поэтому корень y0=(h+h2+8R2)/4 единственен и действительно лежит внутри (h,R). Это доказывает абсолютный максимум, а не только выбор положительного корня квадратного уравнения.
Искомая высота H=y0−h=(h2+8R2−3h)/4, ширина W=2R2−y02. Для полукруга h=0 получаем y0=R/2, H=R/2, W=2R; это проверяет формулу в граничном случае.