Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1573

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1573

В прямой круговой конус с углом

2\alpha

в осевом сечении и радиусом основания

R

вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

Решение

Идея

Высота конуса

H

может быть найдена из прямоугольного треугольника осевого сечения

1
$H = R\operatorname{ctg}\alpha$ Пусть $r$ — радиус вписанного цилиндра, а $h$ — его высота. Из подобия треугольников в осевом сечении получаем $\frac{h}{R - r} = \frac{H}{R} = \operatorname{ctg}\alpha \implies h = (R - r)\operatorname{ctg}\alpha$ Полная поверхность вписанного цилиндра выражается функцией от его радиуса $r$ $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + 2\pi r(R - r)\operatorname{ctg}\alpha$ $S(r) = 2\pi [r^2(1 - \operatorname{ctg}\alpha) + Rr\operatorname{ctg}\alpha]$ Данная функция является квадратичной относительно $r$ на отрезке $r \in [0, R]$ . Найдём её производную $S'(r) = 2\pi [2r(1 - \operatorname{ctg}\alpha) + R\operatorname{ctg}\alpha]$ Приравняем производную к нулю для поиска вершины параболы $2r(1 - \operatorname{ctg}\alpha) + R\operatorname{ctg}\alpha = 0 \implies r = \frac{R\operatorname{ctg}\alpha}{2(\operatorname{ctg}\alpha - 1)} = \frac{R}{2(1 - \operatorname{tg}\alpha)}$ Возможны два случая:
2
Если $\operatorname{tg}\alpha < \frac{1}{2}$ (т.е. $\operatorname{ctg}\alpha > 2$ ), то коэффициент при $r^2$ в функции $S(r)$ отрицателен ( $1 - \operatorname{ctg}\alpha < 0$ ), и парабола ветвями направлена вниз. При этом найденная точка $r$ попадает внутрь отрезка $(0, R)$ и является точкой строгого максимума. В этом случае размеры цилиндра $r = \frac{R}{2(1 - \operatorname{tg}\alpha)}$ $h = \left(R - \frac{R}{2(1 - \operatorname{tg}\alpha)}\right)\operatorname{ctg}\alpha = \frac{R(1 - 2\operatorname{tg}\alpha)}{2\operatorname{tg}\alpha(1 - \operatorname{tg}\alpha)}$
3
Если $\operatorname{tg}\alpha \ge \frac{1}{2}$ (т.е. $\operatorname{ctg}\alpha \le 2$ ), то либо парабола направлена вверх (при $\operatorname{tg}\alpha > 1$ ), либо точка максимума оказывается правее $R$ . В любом из этих случаев на отрезке $[0, R]$ функция $S(r)$ достигает своего наибольшего значения на правом конце, т.е. при $r = R$ . При этом высота $h = 0$ , и цилиндр вырождается в диск (основание конуса) с площадью полной поверхности $2\pi R^2$ .