Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1573

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1573

В прямой круговой конус с углом 2α2\alpha в осевом сечении и радиусом основания RR вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
Ответ:При c=cot⁡α>2c=\cot\alpha>2: r=cR/[2(c−1)]r=cR/[2(c-1)], h=cR(c−2)/[2(c−1)]h=cR(c-2)/[2(c-1)], Smax⁡=πc2R2/[2(c−1)]S_{\max}=\pi c^2R^2/[2(c-1)]. При 0<c⩽20<c\leqslant2 максимум не достигается, sup⁡S=2πR2\sup S=2\pi R^2.

Решение

Пусть 0<α<π/20<\alpha<\pi/2; обозначим c=cot⁡α>0c=\cot\alpha>0. Высота конуса равна H=RcH=Rc. У цилиндра с нижним основанием в плоскости основания конуса радиус rr и высота hh связаны подобием осевых треугольников:rR=H−hH,h=c(R−r),0<r<R.\frac rR=\frac{H-h}{H},\qquad h=c(R-r),\qquad 0<r<R.Для невырожденного цилиндра обе границы исключены. Полная поверхность равнаS(r)=2πr2+2πrh=2π[(1−c)r2+cRr],S′(r)=2π[2(1−c)r+cR].S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi[(1-c)r^2+cRr],
\qquad S'(r)=2\pi[2(1-c)r+cR].Если c>2c>2, производная положительна около 00 и отрицательна около RR. Она строго убывает и обращается в нуль приr0=cR2(c−1)=R2(1−tan⁡α).r_0=\frac{cR}{2(c-1)}=\frac{R}{2(1-\tan\alpha)}.Неравенство r0<Rr_0<R равносильно c>2c>2, так что эта точка допустима. До неё площадь возрастает, после неё убывает: максимум абсолютный. Высотаh0=c(R−r0)=cR(c−2)2(c−1)=R(1−2tan⁡α)2tan⁡α(1−tan⁡α).h_0=c(R-r_0)=\frac{cR(c-2)}{2(c-1)}
=\frac{R(1-2\tan\alpha)}{2\tan\alpha(1-\tan\alpha)}.Подстановка r0r_0 в квадратный трёхчлен даётSmax⁡=2π[−(c−1)c2R24(c−1)2+c2R22(c−1)]=πc2R22(c−1).S_{\max}=2\pi\left[-(c-1)\frac{c^2R^2}{4(c-1)^2}+\frac{c^2R^2}{2(c-1)}\right]
=\frac{\pi c^2R^2}{2(c-1)}.Если 0<c⩽20<c\leqslant2, производная положительна на всём (0,R)(0,R). При c⩽1c\leqslant1 это следует из неотрицательности 2(1−c)r2(1-c)r и положительности cRcR. При 1<c⩽21<c\leqslant2 используем r<Rr<R:2(1−c)r+cR>2(1−c)R+cR=(2−c)R⩾0.2(1-c)r+cR>2(1-c)R+cR=(2-c)R\geqslant0.Следовательно, максимум среди невырожденных цилиндров не существует. При r→R−r\to R- высота h→0+h\to0+, а S→2πR2S\to2\pi R^2; это точная верхняя граница, которая не достигается цилиндром положительной высоты.

Ответ: при tan⁡α<1/2\tan\alpha<1/2 искомые размеры равны r0,h0r_0,h_0, приведённым выше. При tan⁡α⩾1/2\tan\alpha\geqslant1/2 невырожденного цилиндра с наибольшей полной поверхностью нет; верхняя граница площадей равна 2πR22\pi R^2.
Демидович № 1573 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика