Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1582

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1582

Завод AA отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город BB, считая по кратчайшему расстоянию, на расстояние aa. Под каким углом φ\varphi к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из AA в BB была наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному пути pp р., по железной дороге qq р. (p>q)(p>q) и город BB расположен на расстоянии bb севернее завода AA?

Решение

Идея

Пусть CC — точка пересечения подъездного пути с железной дорогой. Тогда длина подъездного пути ACAC определяется из прямоугольного треугольника

Проверка

AC=asin⁡φAC = \frac{a}{\sin\varphi}Проекция отрезка ACAC на железную дорогу равна actg⁡φa\operatorname{ctg}\varphi. Так как город BB находится на расстоянии bb севернее AA, расстояние по железной дороге от точки CC до города BB составляетCB=b−actg⁡φCB = b - a\operatorname{ctg}\varphiОбщая стоимость транспортировки одной тонны груза выражается функциейC(φ)=p⋅AC+q⋅CB=pasin⁡φ+q(b−actg⁡φ)C(\varphi) = p \cdot AC + q \cdot CB = p \frac{a}{\sin\varphi} + q (b - a\operatorname{ctg}\varphi)Найдём производную функции C(φ)C(\varphi) для определения минимума стоимостиC′(φ)=pa(−cos⁡φsin⁡2φ)−qa(−1sin⁡2φ)=a(q−pcos⁡φ)sin⁡2φC'(\varphi) = p a \left( -\frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi} \right) - q a \left( -\frac{1}{\sin^2\varphi} \right) = \frac{a(q - p\cos\varphi)}{\sin^2\varphi}Приравняем производную к нулюq−pcos⁡φ=0  ⟹  cos⁡φ=qpq - p\cos\varphi = 0 \implies \cos\varphi = \frac{q}{p}Поскольку p>qp > q, значение косинуса меньше 11, и угол φ\varphi существует. При cos⁡φ>qp\cos\varphi > \frac{q}{p} производная отрицательна, а при cos⁡φ<qp\cos\varphi < \frac{q}{p} — положительна. Следовательно, в найденной точке стоимость минимальнаφ=arccos⁡qp\varphi = \arccos\frac{q}{p}
Демидович № 1582 — решение