Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1582

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1582

Завод AA отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город BB, считая по кратчайшему расстоянию, на расстояние aa. Под каким углом φ\varphi к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из AA в BB была наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному пути pp р., по железной дороге qq р. (p>q)(p>q) и город BB расположен на расстоянии bb севернее завода AA?
Ответ:При b⩾aq/p2−q2b\geqslant aq/\sqrt{p^2-q^2}: φ=arccos⁡(q/p)\varphi=\arccos(q/p), минимальная стоимость на тонну ap2−q2+qba\sqrt{p^2-q^2}+qb. При меньшем bb путь идёт прямо из завода в город; φ=arccos⁡[b/a2+b2]\varphi=\arccos[b/\sqrt{a^2+b^2}], стоимость pa2+b2p\sqrt{a^2+b^2}.

Решение

Обозначим основание перпендикуляра из завода на железную дорогу через OO. Выберем координаты так, что A=(a,0)A=(a,0), O=(0,0)O=(0,0), B=(0,b)B=(0,b); здесь a>0a>0, b⩾0b\geqslant0, а тарифы p>q>0p>q>0. Пусть подъездной путь приходит на железную дорогу в точку C=(0,s)C=(0,s). ТогдаAC=a2+s2,CB=∣b−s∣,K(s)=pa2+s2+q∣b−s∣.AC=\sqrt{a^2+s^2},\qquad CB=|b-s|,
\qquad K(s)=p\sqrt{a^2+s^2}+q|b-s|.Модуль нужен, поскольку точка соединения может оказаться севернее города.

Если s<0s<0, перенос точки CC к OO уменьшает оба расстояния. Если s>bs>b, перенос к BB также уменьшает оба расстояния. Поэтому достаточно 0⩽s⩽b0\leqslant s\leqslant b. На этом отрезкеK(s)=pa2+s2+q(b−s),K′(s)=psa2+s2−q,K(s)=p\sqrt{a^2+s^2}+q(b-s),\qquad
K'(s)=\frac{ps}{\sqrt{a^2+s^2}}-q,K′′(s)=pa2(a2+s2)3/2>0.K''(s)=\frac{pa^2}{(a^2+s^2)^{3/2}}>0.Производная строго возрастает и равна нулю приps=qa2+s2⟺(p2−q2)s2=q2a2⟺s∗=aqp2−q2.ps=q\sqrt{a^2+s^2}
\quad\Longleftrightarrow\quad
(p^2-q^2)s^2=q^2a^2
\quad\Longleftrightarrow\quad
s_*=\frac{aq}{\sqrt{p^2-q^2}}.При возведении в квадрат обе стороны неотрицательны, так что лишнего корня не возникает.

Если b⩾s∗b\geqslant s_*, минимум достигается при s=s∗s=s_*. Острый угол подъездного пути с железной дорогой удовлетворяетcos⁡φ=s∗a2+s∗2=qp,φ=arccos⁡qp.\cos\varphi=\frac{s_*}{\sqrt{a^2+s_*^2}}=\frac qp,
\qquad \varphi=\arccos\frac qp.Если b<s∗b<s_*, стационарная точка лежит за пределами допустимого отрезка. На всём [0,b][0,b] стоимость убывает, поэтому нужно соединить завод непосредственно с городом: C=BC=B. В этом случаеφ=arccos⁡ba2+b2.\varphi=\arccos\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.Формула включает b=0b=0, когда угол равен π/2\pi/2.

Для проверки стоимости в первом случае a2+s∗2=ap/p2−q2\sqrt{a^2+s_*^2}=ap/\sqrt{p^2-q^2}, поэтомуKmin⁡=ap2−aq2p2−q2+qb=ap2−q2+qb.K_{\min}=\frac{ap^2-aq^2}{\sqrt{p^2-q^2}}+qb
=a\sqrt{p^2-q^2}+qb.Во втором случае Kmin⁡=pa2+b2K_{\min}=p\sqrt{a^2+b^2}. При b=s∗b=s_* обе формулы совпадают.

Ответ: угол arccos⁡(q/p)\arccos(q/p) при b⩾aq/p2−q2b\geqslant aq/\sqrt{p^2-q^2}. Если город расположен ближе по северному направлению, оптимален прямой подъездной путь ABAB с углом arccos⁡[b/a2+b2]\arccos[b/\sqrt{a^2+b^2}].
Демидович № 1582 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика