Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1587

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1587

К реке шириной aa построен под прямым углом канал шириной bb. Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал?
Ответ:Lmax⁡=(a2/3+b2/3)3/2L_{\max}=(a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2} в модели судна пренебрежимо малой ширины.

Решение

Рассматриваем судно как жёсткий отрезок пренебрежимо малой ширины. При каждом промежуточном угле поворота есть наибольшая длина отрезка, помещающегося между берегами: он проходит через внутренний угол и упирается концами в два наружных берега. Более длинный отрезок при таком угле не поместится. Поэтому длина судна должна быть не больше наименьшего из этих предельных значений.

Это условие и достаточно в данной геометрической модели: предельные отрезки непрерывно меняются при повороте, а внутри каждого можно разместить отрезок выбранной меньшей длины, непрерывно меняя его положение. Касание берегов считаем допустимым.
Пусть судно в момент поворота касается внутреннего угла и образует угол α\alpha с берегом реки (0<α<π2)\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right).
Длина отрезка, зажатого между наружными берегами и проходящего через вершину внутреннего угла, равна сумме двух отрезков:L(α)=asin⁡α+bcos⁡αL(\alpha) = \frac{a}{\sin\alpha} + \frac{b}{\cos\alpha}Для нахождения максимально возможной длины судна необходимо найти минимум функции L(α)L(\alpha). Продифференцируем её по α\alpha:L′(α)=−acos⁡αsin⁡2α+bsin⁡αcos⁡2α=bsin⁡3α−acos⁡3αsin⁡2αcos⁡2αL'(\alpha) = -a \frac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha} + b \frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{b\sin^3\alpha - a\cos^3\alpha}{\sin^2\alpha \cos^2\alpha}Знаменатель положителен. Знак числителя совпадает со знаком btg⁡3α−ab\operatorname{tg}^3\alpha-a, поскольку cos⁡α>0\cos\alpha>0. Тангенс строго возрастает от 00 до +∞+\infty, поэтому производная один раз меняет знак с минуса на плюс. Найденная точка даст глобальный минимум. Решим уравнение производной:bsin⁡3α−acos⁡3α=0  ⟹  tg⁡3α=ab  ⟹  tg⁡α=ab3b\sin^3\alpha - a\cos^3\alpha = 0 \implies \operatorname{tg}^3\alpha = \frac{a}{b} \implies \operatorname{tg}\alpha = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}Выразим sin⁡α\sin\alpha и cos⁡α\cos\alpha через tg⁡α\operatorname{tg}\alpha:sin⁡α=tg⁡α1+tg⁡2α=a13a23+b23\sin\alpha = \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}}cos⁡α=11+tg⁡2α=b13a23+b23\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}}Подставим найденные значения в функцию длины L(α)L(\alpha):Lmin⁡=aa1/3a2/3+b2/3+bb1/3a2/3+b2/3=a23a23+b23+b23a23+b23L_{\min} = \frac{a}{\frac{a^{1/3}}{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}} + \frac{b}{\frac{b^{1/3}}{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}} =
a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} + b^{\frac{2}{3}}\sqrt{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}Вынесем радикал за скобки:Lmin⁡=(a23+b23)a23+b23=(a23+b23)32L_{\min} = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) \sqrt{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}Таким образом, максимальная длина судна, способного войти в канал, равна (a23+b23)32(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}.
Демидович № 1587 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика