Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1565

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1565

В эллипс

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса, площадь которого наибольшая.

Ответ:Стороны

a\sqrt2

b\sqrt2

; максимальная площадь

2ab

Решение

Пусть вершина прямоугольника, лежащая в первой координатной четверти, имеет координаты

(x, y)

, где

x > 0

y > 0

.
Точка лежит на эллипсе, поэтому мы можем выразить

y

через

x

y = b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}

В силу симметрии прямоугольника относительно осей координат, его стороны равны

2x

2y

. Площадь прямоугольника равна

S(x) = (2x)(2y) = 4x \cdot b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \frac{4b}{a} x\sqrt{a^2 - x^2}

Для упрощения нахождения максимума рассмотрим квадрат площади

F(x) = S^2(x) = \frac{16b^2}{a^2} x^2(a^2 - x^2) = \frac{16b^2}{a^2} (a^2 x^2 - x^4)

Найдём производную этой функции

F'(x) = \frac{16b^2}{a^2} (2a^2 x - 4x^3) = \frac{32b^2 x}{a^2} (a^2 - 2x^2)

Приравняем производную к нулю. Учитывая, что

x > 0

a^2 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{a^2}{2} \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}}

Так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку

x = \frac{a}{\sqrt{2}}

, эта точка является точкой максимума функции

F(x)

, а следовательно, и функции

S(x)

.
Найдём соответствующую координату

y

y = b\sqrt{1 - \frac{a^2/2}{a^2}} = b\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{b}{\sqrt{2}}

Стороны искомого прямоугольника равны

2x = 2 \frac{a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2} \quad 2y = 2 \frac{b}{\sqrt{2}} = b\sqrt{2}

Максимальная площадь прямоугольника составит

S_{\max} = (a\sqrt{2})(b\sqrt{2}) = 2ab

Проверка

Полуоси

a,b

положительны, а

0<x<a

. Прямоугольник со сторонами, параллельными осям и четырьмя вершинами на эллипсе, симметричен относительно осей: из уравнений для двух вершин на одной горизонтали их абсциссы имеют равные квадраты и противоположные знаки, а для вертикали аналогично получаем ординаты

\pm y

. Площадь положительна, поэтому максимизация её квадрата законна по №1556. Знаки

F'

на всём интервале

(0,a)

доказывают абсолютный максимум.