Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1577

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1577

Через точку

M(x,y)

эллипса

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

провести касательную, образующую с осями координат треугольник, площадь которого наименьшая.

Ответ:

S_{\min}=ab

. Точки касания

(\pm a/\sqrt2,\pm b/\sqrt2)

со всеми четырьмя сочетаниями знаков.

Решение

Пусть касательная проведена в точке

M(x_0, y_0)

, лежащей в первой четверти (то есть

x_0 > 0, y_0 > 0

). Уравнение касательной к эллипсу имеет вид

\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1

Найдём точки пересечения этой касательной с осями координат:
При

y = 0

получаем

x

-отрезок:

X = \frac{a^2}{x_0}

.
При

x = 0

получаем

y

-отрезок:

Y = \frac{b^2}{y_0}

.
Треугольник, образованный осями координат и касательной, является прямоугольным. Его площадь равна

S = \frac{1}{2}XY = \frac{1}{2} \frac{a^2}{x_0} \frac{b^2}{y_0} = \frac{a^2 b^2}{2x_0 y_0}

Для минимизации площади

S

нам необходимо максимизировать произведение

x_0 y_0

.
Так как точка

M(x_0, y_0)

лежит на эллипсе, выполняется условие

\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1

Воспользуемся неравенством Коши для среднего арифметического и среднего геометрического

\frac{1}{2}\left(\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2}\right) \ge \sqrt{\frac{x_0^2 y_0^2}{a^2 b^2}} \implies \frac{1}{2} \ge \frac{x_0 y_0}{ab} \implies x_0 y_0 \le \frac{ab}{2}

Максимальное значение произведения равно

\frac{ab}{2}

. Оно достигается в случае равенства слагаемых

\frac{x_0^2}{a^2} = \frac{y_0^2}{b^2} = \frac{1}{2} \implies x_0 = \frac{a}{\sqrt{2}}, \quad y_0 = \frac{b}{\sqrt{2}}

Подставим найденный максимум в формулу площади

S_{\min} = \frac{a^2 b^2}{2 \left(\frac{ab}{2}\right)} = ab

Точка касания имеет координаты

\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)

(а также симметричные ей точки в других четвертях).

Проверка

Полуоси

a,b

положительны. Касание в вершине на координатной оси не подходит: касательная тогда параллельна другой оси и не образует конечного треугольника. При

x_0y_0\ne0

его площадь равна

a^2b^2/(2|x_0y_0|)

. Благодаря симметрии достаточно исследовать первую четверть; отражения дают остальные три решения.

Уравнение касательной следует из дифференцирования эллипса:

x_0(x-x_0)/a^2+y_0(y-y_0)/b^2=0

. Так как

x_0^2/a^2+y_0^2/b^2=1

, получаем исходную запись. Неравенство для произведения можно проверить квадратом:

(x_0/a-y_0/b)^2\geqslant0

даёт

1\geqslant2x_0y_0/(ab)

, а равенство требует

x_0/a=y_0/b