Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1588

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1588

Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоянной, равной

a

р., и переменной, возрастающей пропорционально кубу скорости. При какой скорости

v

плавание судна будет наиболее экономичным?

Ответ:

v=\sqrt[3]{a/(2k)}

, где

kv^3

— переменные суточные расходы; в оптимальном режиме они равны

a/2

Решение

Пусть

v>0

— скорость судна, измеряемая в единицах расстояния за сутки, а

S>0

— длина заданного маршрута в тех же единицах расстояния.
Время плавания в сутках составит:

t = \frac{S}{v}

Суточные расходы складываются из постоянной части

a

и переменной части

k v^3

, где

k

— коэффициент пропорциональности (

k > 0

). Таким образом, расходы за одни сутки равны:

C_{\text{сут}} = a + k v^3

Общие расходы на весь путь составят:

C(v) = C_{\text{сут}} \cdot t = (a + k v^3) \frac{S}{v} = S \left( \frac{a}{v} + k v^2 \right)

Чтобы плавание было наиболее экономичным, общие расходы

C(v)

должны быть минимальными. Найдём производную функции

C(v)

по

v

C'(v) = S \left( -\frac{a}{v^2} + 2kv \right)

Приравняем производную к нулю:

-\frac{a}{v^2} + 2kv = 0 \implies 2kv^3 = a \implies v^3 = \frac{a}{2k} \implies v = \sqrt[3]{\frac{a}{2k}}

Проверим знак второй производной, чтобы убедиться, что это минимум:

C''(v) = S \left( \frac{2a}{v^3} + 2k \right) > 0 \quad (\text{так как } a > 0, k > 0, v > 0)

Вторая производная положительна, следовательно, найденная скорость обеспечивает минимальные расходы. Наиболее экономичное плавание достигается при скорости

v = \sqrt[3]{\frac{a}{2k}}

(то есть при такой скорости, когда переменные суточные расходы вдвое меньше постоянных).