Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1574

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти кратчайшее расстояние точки

M(p,p)

от параболы

y^2=2px

Решение

Идея

Квадрат расстояния от произвольной точки параболы

(x, y)

до точки

M(p, p)

выражается формулой

D^2 = (x - p)^2 + (y - p)^2

Так как точка лежит на параболе,

x = \frac{y^2}{2p}

. Подставим это выражение

D^2(y) = \left(\frac{y^2}{2p} - p\right)^2 + (y - p)^2

Найдём производную функции

D^2(y)

для поиска её минимума

\frac{d}{dy}(D^2) = 2\left(\frac{y^2}{2p} - p\right)\frac{y}{p} + 2(y - p) = \frac{y^3}{p^2} - 2y + 2y - 2p = \frac{y^3}{p^2} - 2p

Приравняем производную к нулю

\frac{y^3}{p^2} - 2p = 0 \implies y^3 = 2p^3 \implies y = p\sqrt[3]{2}

Поскольку вторая производная

\frac{3y^2}{p^2}

всегда положительна при

y \ne 0

, точка

y = p\sqrt[3]{2}

доставляет минимум квадрату расстояния.
Найдём координату

x

для этой точки

x = \frac{(p\sqrt[3]{2})^2}{2p} = \frac{p^2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2p} = p \cdot 2^{-\frac{1}{3}} = \frac{p}{\sqrt[3]{2}}

Вычислим минимальный квадрат расстояния

D^2 = \left(\frac{p}{\sqrt[3]{2}} - p\right)^2 + (p\sqrt[3]{2} - p)^2 = p^2 \left( \left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - 1\right)^2 + (\sqrt[3]{2} - 1)^2 \right)

Вынесем общий множитель

(\sqrt[3]{2} - 1)^2

D^2 = p^2(\sqrt[3]{2} - 1)^2 \left( \frac{1}{\sqrt[3]{4}} + 1 \right)

Извлекая корень, получим кратчайшее расстояние

D_{\min} = p(\sqrt[3]{2} - 1)\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt[3]{4}}}