Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1574

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1574

Найти кратчайшее расстояние точки M(p,p)M(p,p) от параболыy2=2pxy^2=2px
Ответ:Dmin⁡=∣p∣(23−1)1+1/43D_{\min}=|p|(\sqrt[3]2-1)\sqrt{1+1/\sqrt[3]4}, ближайшая точка (p/23,p23)(p/\sqrt[3]2,p\sqrt[3]2). При p=0p=0 расстояние равно нулю.

Решение

Квадрат расстояния от произвольной точки параболы (x,y)(x, y) до точки M(p,p)M(p, p) выражается формулой
D2=(x−p)2+(y−p)2D^2 = (x - p)^2 + (y - p)^2Так как точка лежит на параболе, x=y22px = \frac{y^2}{2p}. Подставим это выражениеD2(y)=(y22p−p)2+(y−p)2D^2(y) = \left(\frac{y^2}{2p} - p\right)^2 + (y - p)^2Найдём производную функции D2(y)D^2(y) для поиска её минимумаddy(D2)=2(y22p−p)yp+2(y−p)=y3p2−2y+2y−2p=y3p2−2p\frac{d}{dy}(D^2) = 2\left(\frac{y^2}{2p} - p\right)\frac{y}{p} + 2(y - p) = \frac{y^3}{p^2} - 2y + 2y - 2p = \frac{y^3}{p^2} - 2pПриравняем производную к нулюy3p2−2p=0  ⟹  y3=2p3  ⟹  y=p23\frac{y^3}{p^2} - 2p = 0 \implies y^3 = 2p^3 \implies y = p\sqrt[3]{2}Поскольку вторая производная 3y2p2\frac{3y^2}{p^2} всегда положительна при y≠0y \ne 0, точка y=p23y = p\sqrt[3]{2} доставляет минимум квадрату расстояния.
Найдём координату xx для этой точкиx=(p23)22p=p2⋅2232p=p⋅2−13=p23x = \frac{(p\sqrt[3]{2})^2}{2p} = \frac{p^2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2p} = p \cdot 2^{-\frac{1}{3}} = \frac{p}{\sqrt[3]{2}}Вычислим минимальный квадрат расстоянияD2=(p23−p)2+(p23−p)2=p2((123−1)2+(23−1)2)D^2 = \left(\frac{p}{\sqrt[3]{2}} - p\right)^2 + (p\sqrt[3]{2} - p)^2 = p^2 \left( \left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - 1\right)^2 + (\sqrt[3]{2} - 1)^2 \right)Вынесем общий множитель (23−1)2(\sqrt[3]{2} - 1)^2D2=p2(23−1)2(143+1)D^2 = p^2(\sqrt[3]{2} - 1)^2 \left( \frac{1}{\sqrt[3]{4}} + 1 \right)Извлекая корень, получим кратчайшее расстояниеDmin⁡=∣p∣(23−1)1+143D_{\min} = |p|(\sqrt[3]{2} - 1)\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt[3]{4}}}

Проверка

Для невырожденной параболы p≠0p\ne0 параметр yy пробегает всю прямую. Производная квадрата расстояния равна (y3−2p3)/p2(y^3-2p^3)/p^2 и строго возрастает по знаку числителя: отрицательна до y=p23y=p\sqrt[3]2 и положительна после. Поэтому минимум абсолютный. При извлечении корня из p2p^2 следует брать ∣p∣|p|; при обычном соглашении p>0p>0 это равно pp. Если допустить p=0p=0, уравнение задаёт прямую y=0y=0, точка MM — начало координат, а расстояние равно нулю.
Демидович № 1574 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика