Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1557

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1557

Доказать, что если функция

\varphi(x)

— монотонно возрастающая в строгом смысле при

-\infty<x<+\infty

, то функции

f(x)\quad\text{и}\quad \varphi(f(x))

имеют одни и те же точки экстремума.

Доказано:Точки максимумов и минимумов совпадают; непрерывность и дифференцируемость не требуются.

Доказательство

Ключевое свойство строго возрастающей функции — сохранение порядка в обе стороны:

u\leqslant v\quad\Longleftrightarrow\quad\varphi(u)\leqslant\varphi(v).

Прямое утверждение следует из возрастания. Для обратного предположим

u>v

: строгое возрастание дало бы

\varphi(u)>\varphi(v)

, что противоречит требуемому неравенству.

Пусть

x_0

принадлежит области определения

f

. В любой её окрестности

f(x)\leqslant f(x_0)\quad\Longleftrightarrow\quad\varphi(f(x))\leqslant\varphi(f(x_0)).

По определению локального максимума это означает, что

x_0

является максимумом одной функции тогда и только тогда, когда является максимумом другой.

Для минимума в той же окрестности имеем

f(x)\geqslant f(x_0)\quad\Longleftrightarrow\quad\varphi(f(x))\geqslant\varphi(f(x_0)).

Следовательно, совпадают и точки локальных минимумов. Если экстремум понимается как строгий, заменяем нестрогие неравенства строгими; равносильность сохраняется. Непрерывность или дифференцируемость

f

\varphi

для этого доказательства не нужны.

Что и требовалось доказать