Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1557

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1557

Доказать, что если функция φ(x)\varphi(x) — монотонно возрастающая в строгом смысле при −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty, то функцииf(x)иφ(f(x))f(x)\quad\text{и}\quad \varphi(f(x))имеют одни и те же точки экстремума.

Доказательство

Идея

Пусть x0x_0 — точка локального максимума функции f(x)f(x). Это означает, что существует окрестность точки x0x_0, в которой для всех xx выполняетсяf(x)≤f(x0)f(x) \le f(x_0)Так как функция φ(t)\varphi(t) монотонно возрастает в строгом смысле на всей числовой прямой, применение её к обеим частям неравенства сохраняет его знакφ(f(x))≤φ(f(x0))\varphi(f(x)) \le \varphi(f(x_0))Следовательно, x0x_0 также является точкой локального максимума сложной функции φ(f(x))\varphi(f(x)).
Докажем обратное утверждение. Пусть x0x_0 — точка локального максимума функции Φ(x)=φ(f(x))\Phi(x) = \varphi(f(x)). Тогда в некоторой окрестностиφ(f(x))≤φ(f(x0))\varphi(f(x)) \le \varphi(f(x_0))Поскольку φ(t)\varphi(t) строго монотонно возрастает, она имеет строго монотонно возрастающую обратную функцию φ−1(t)\varphi^{-1}(t). Применяя её к неравенству, получимφ−1(φ(f(x)))≤φ−1(φ(f(x0)))  ⟹  f(x)≤f(x0)\varphi^{-1}(\varphi(f(x))) \le \varphi^{-1}(\varphi(f(x_0))) \implies f(x) \le f(x_0)Значит, x0x_0 — точка локального максимума функции f(x)f(x).

Проверка

Аналогично доказывается совпадение точек минимума (знаки неравенств заменяются на противоположные). Таким образом, точки экстремума совпадают.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1557 — решение