Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1576

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1576

Найти наибольшую хорду эллипсаx2a2+y2b2=1(0<b<a)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(0<b<a)проходящую через вершину B(0,−b)B(0,-b).
Ответ:При b<a⩽b2b<a\leqslant b\sqrt2 максимальная хорда — малая ось, её длина 2b2b. При a>b2a>b\sqrt2 длина a2/a2−b2a^2/\sqrt{a^2-b^2}; второй конец (±a2a2−2b2/(a2−b2),b3/(a2−b2))(\pm a^2\sqrt{a^2-2b^2}/(a^2-b^2),b^3/(a^2-b^2)).

Решение

Пусть точка M(x,y)M(x, y) лежит на эллипсе. Квадрат длины хорды BMBM выражается формулойD2=x2+(y+b)2=x2+y2+2by+b2D^2 = x^2 + (y+b)^2 = x^2 + y^2 + 2by + b^2Так как точка MM принадлежит эллипсу, выполнено равенство x2=a2(1−y2b2)x^2 = a^2\left(1 - \frac{y^2}{b^2}\right), где y∈[−b,b]y \in [-b, b]. Подставим это выражение в формулу для квадрата расстоянияD2(y)=a2(1−y2b2)+y2+2by+b2=y2(1−a2b2)+2by+a2+b2D^2(y) = a^2\left(1 - \frac{y^2}{b^2}\right) + y^2 + 2by + b^2 = y^2\left(1 - \frac{a^2}{b^2}\right) + 2by + a^2 + b^2Полученная функция является квадратичной относительно yy. Так как a>ba > b, коэффициент при y2y^2 отрицателен, и графиком является парабола ветвями вниз.
Найдём точку максимума, приравняв производную к нулю(D2)′=2y(1−a2b2)+2b=0  ⟹  y0=−b1−a2b2=b3a2−b2(D^2)' = 2y\left(1 - \frac{a^2}{b^2}\right) + 2b = 0 \implies y_0 = \frac{-b}{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \frac{b^3}{a^2 - b^2}Рассмотрим два случая расположения вершины параболы относительно отрезка [−b,b][-b, b]:
Вершина лежит внутри или на границе отрезка: y0≤by_0 \le b.b3a2−b2≤b  ⟹  b2≤a2−b2  ⟹  a2≥2b2  ⟹  a≥b2\frac{b^3}{a^2 - b^2} \le b \implies b^2 \le a^2 - b^2 \implies a^2 \ge 2b^2 \implies a \ge b\sqrt{2}При a>b2a>b\sqrt2 точка y0y_0 внутренняя, а при a=b2a=b\sqrt2 совпадает с правым концом y=by=b. В обоих случаях она даёт наибольшую длину. Вычислим максимальный квадрат хордыDmax⁡2=(b2−a2b2)b6(a2−b2)2+2bb3a2−b2+a2+b2=−b4a2−b2+2b4a2−b2+a2+b2D_{\max}^2 = \left(\frac{b^2 - a^2}{b^2}\right)\frac{b^6}{(a^2 - b^2)^2} + 2b\frac{b^3}{a^2 - b^2} + a^2 + b^2 = -\frac{b^4}{a^2 - b^2} + \frac{2b^4}{a^2 - b^2} + a^2 + b^2Dmax⁡2=b4a2−b2+a4−b4a2−b2=a4a2−b2  ⟹  Dmax⁡=a2a2−b2D_{\max}^2 = \frac{b^4}{a^2 - b^2} + \frac{a^4 - b^4}{a^2 - b^2} = \frac{a^4}{a^2 - b^2} \implies D_{\max} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - b^2}}Вершина лежит вне отрезка: y0>by_0 > b, что соответствует a<b2a < b\sqrt{2}.
Так как абсцисса вершины параболы правее правого конца отрезка, функция D2(y)D^2(y) монотонно возрастает на всём отрезке [−b,b][-b, b]. Максимум достигается на правом конце при y=by = b.
Тогда точка совпадает с противоположной вершиной эллипса (0,b)(0, b), а хорда является малой осью эллипсаDmax⁡=2bD_{\max} = 2b

Проверка

Если a>b2a>b\sqrt2, второй конец максимальной хорды имеет координатыy0=b3a2−b2,x0=±a2a2−2b2a2−b2.y_0=\frac{b^3}{a^2-b^2},\qquad
x_0=\pm\frac{a^2\sqrt{a^2-2b^2}}{a^2-b^2}.Действительно, из уравнения эллипсаx02=a2(1−b4(a2−b2)2)=a4(a2−2b2)(a2−b2)2.x_0^2=a^2\left(1-\frac{b^4}{(a^2-b^2)^2}\right)
=\frac{a^4(a^2-2b^2)}{(a^2-b^2)^2}.Получаются две симметричные хорды одинаковой длины. При a=b2a=b\sqrt2 эти концы совпадают в (0,b)(0,b), а формула длины даёт a2/a2−b2=2ba^2/\sqrt{a^2-b^2}=2b, согласуясь со вторым случаем.
Демидович № 1576 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика