Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1581

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1581

Какой сектор следует вырезать из круга радиуса

R

, чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?

Ответ:Следует вырезать сектор угла

2\pi(1-\sqrt{2/3})

радиан.

Решение

Пусть из круга вырезан сектор, и оставшаяся часть имеет центральный угол

\alpha

. Из этой части сворачивается конус, образующая которого равна радиусу исходного круга

R

.
Длина дуги оставшегося сектора равна

\alpha R

. После сворачивания она становится длиной окружности основания конуса. Пусть

r

— радиус основания конуса, тогда

2\pi r = \alpha R \implies r = \frac{\alpha R}{2\pi}

Высоту конуса

h

найдём по теореме Пифагора

h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{R^2 - \frac{\alpha^2 R^2}{4\pi^2}} = \frac{R}{2\pi}\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}

Объём конуса (воронки) выражается формулой

V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\alpha R}{2\pi}\right)^2 \frac{R}{2\pi}\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2} = \frac{R^3}{24\pi^2} \alpha^2 \sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}

Для максимизации объёма достаточно максимизировать функцию под корнем, внеся в него

\alpha^2

f(\alpha) = \alpha^4(4\pi^2 - \alpha^2) = 4\pi^2 \alpha^4 - \alpha^6

Найдём производную функции

f(\alpha)

f'(\alpha) = 16\pi^2 \alpha^3 - 6\alpha^5 = 2\alpha^3(8\pi^2 - 3\alpha^2)

Приравняем к нулю (учитывая, что

\alpha > 0

)

8\pi^2 - 3\alpha^2 = 0 \implies \alpha^2 = \frac{8\pi^2}{3} \implies \alpha = 2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}

При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, значит, объём максимален.
Осталось найти угол сектора, который нужно вырезать. Он равен

\varphi = 2\pi - \alpha

\varphi = 2\pi - 2\pi\sqrt{\frac{2}{3}} = 2\pi\left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right)

Проверка

Оставшийся сектор имеет угол

0<\alpha<2\pi

в радианах. На этом интервале объём положителен, поэтому максимизация

f=\alpha^4(4\pi^2-\alpha^2)

равносильна максимизации квадрата объёма по №1556. Производная имеет указанные знаки на всём допустимом интервале; найденный максимум абсолютный. Размеры воронки

r=R\sqrt{2/3}

h=R/\sqrt3

согласуются с результатом №1572 для образующей

R