Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1563

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости

V

будет иметь наименьшую полную поверхность?

Ответ:

R=\sqrt[3]{V/(2\pi)}

H=2R

;

S_{\min}=6\pi R^2

Решение

Пусть

R

— радиус основания цилиндра, а

H

— его высота. Вместимость (объём) цилиндра задана и равна

V

V = \pi R^2 H \implies H = \frac{V}{\pi R^2}

Полная поверхность закрытой цилиндрической банки состоит из двух оснований и боковой поверхности

S = 2\pi R^2 + 2\pi RH

Выразим площадь поверхности как функцию от радиуса

R

S(R) = 2\pi R^2 + 2\pi R \left(\frac{V}{\pi R^2}\right) = 2\pi R^2 + \frac{2V}{R}

Найдём первую производную функции

S(R)

S'(R) = 4\pi R - \frac{2V}{R^2}

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку

4\pi R - \frac{2V}{R^2} = 0 \implies 4\pi R^3 = 2V \implies R^3 = \frac{V}{2\pi} \implies R = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}

Найдём вторую производную

S''(R) = 4\pi + \frac{4V}{R^3}

Так как

V > 0

R > 0

, вторая производная

S''(R) > 0

. Следовательно, найденный радиус соответствует минимуму полной поверхности.
Найдём соответствующую высоту

H

H = \frac{V}{\pi R^2} = \frac{V}{\pi \left( \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \right)^2} = \frac{V}{\pi} \cdot \frac{(2\pi)^{\frac{2}{3}}}{V^{\frac{2}{3}}} = 2 \cdot \frac{V^{\frac{1}{3}}}{(2\pi)^{\frac{1}{3}}} = 2 \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}

Отсюда видно, что

H = 2R

. Полная поверхность будет наименьшей, если высота цилиндра равна диаметру его основания

Проверка

При

R>0

знак

S'=(4\pi R^3-2V)/R^2

отрицателен до

R_0=\sqrt[3]{V/(2\pi)}

и положителен после него. Следовательно, минимум абсолютный. Из равенства

V=2\pi R_0^3

сразу получаем

H=V/(\pi R_0^2)=2R_0

, а

S_{\min}=2\pi R_0^2+2\pi R_0(2R_0)=6\pi R_0^2