Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1569

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

В шар радиуса

R

вписать цилиндр наибольшего объёма.

Ответ:

r=R\sqrt{2/3}

h=2R/\sqrt3

;

V_{\max}=4\pi R^3/(3\sqrt3)

Решение

Пусть

r

— радиус основания цилиндра, а

h

— его высота. Цилиндр вписан в шар, поэтому его осевое сечение опирается на диаметр шара

2R

. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, диаметром основания цилиндра и диаметром шара

(2r)^2 + h^2 = (2R)^2 \implies 4r^2 = 4R^2 - h^2 \implies r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}

Объём цилиндра выражается функцией

V(h) = \pi r^2 h = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) h = \pi R^2 h - \frac{\pi}{4}h^3

Найдём производную

V'(h) = \pi R^2 - \frac{3\pi}{4}h^2

Приравняем производную к нулю

\pi R^2 - \frac{3\pi}{4}h^2 = 0 \implies h^2 = \frac{4R^2}{3} \implies h = \frac{2R}{\sqrt{3}}

Вторая производная

V''(h) = -\frac{3\pi}{2}h < 0

, следовательно, при этом

h

достигается максимум.
Найдём радиус цилиндра

r^2 = R^2 - \frac{1}{4} \cdot \frac{4R^2}{3} = \frac{2R^2}{3} \implies r = R\sqrt{\frac{2}{3}}

Проверка

Допустимые высоты удовлетворяют

0<h<2R

. Производная положительна при

h<2R/\sqrt3

и отрицательна при больших допустимых

h

, поэтому максимум абсолютный. Его значение

V_{\max}=\pi(2R^2/3)(2R/\sqrt3)=4\pi R^3/(3\sqrt3)