Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1566

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1566

В треугольник с основанием

b

и высотой

h

вписать прямоугольник с наибольшим периметром. Исследовать возможность решения этой задачи.

Решение

Идея

Пусть

x

— основание вписанного прямоугольника, параллельное основанию треугольника

b

, а

y

— его высота. Из подобия треугольников (отсекаемого верхнего и исходного) получаем соотношение

1
$\frac{x}{b} = \frac{h-y}{h} \implies x = b\left(1 - \frac{y}{h}\right)$ Периметр прямоугольника является функцией его высоты $y$ $P(y) = 2(x+y) = 2\left( b - \frac{b}{h}y + y \right) = 2b + 2y\left(1 - \frac{b}{h}\right)$ Рассмотрим эту функцию на отрезке $y \in [0, h]$ . Функция $P(y)$ линейна по $y$ , её производная постоянна $P'(y) = 2\left(\frac{h-b}{h}\right)$ Исследуем три случая:
2
Если $h > b$ , то $P'(y) > 0$ . Периметр монотонно возрастает с увеличением $y$ и стремится к супремуму $2h$ при $y \to h$ и $x \to 0$ . Настоящего (невырожденного) прямоугольника максимального периметра не существует.
3
Если $h < b$ , то $P'(y) < 0$ . Периметр монотонно убывает с увеличением $y$ , наибольшее значение стремится к $2b$ при $y \to 0$ и $x \to b$ . Аналогично, невырожденного прямоугольника максимального периметра не существует.
4
Если $h = b$ , то $P'(y) = 0$ . Периметр не зависит от $y$ и равен $2b$ для всех $y \in (0, h)$ . В этом случае любой вписанный прямоугольник имеет один и тот же периметр $2b$ .