Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 213

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 213

1. Найти f(x)f(x), еслиf ⁣(1x)=x+1+x2(x>0).f\!\left(\frac1x\right)=x+\sqrt{1+x^2}\qquad(x>0).2. Найти f(x)f(x), еслиf ⁣(xx+1)=x2.f\!\left(\frac{x}{x+1}\right)=x^2.

Решение

  1. 1
    По условиюf(1x)=x+1+x2,x>0.f\left(\frac1x\right)=x+\sqrt{1+x^2},\qquad x>0.Чтобы слева получить f(x)f(x), заменим в исходном равенстве старое xx на 1x\dfrac1x.
  2. 2
    Так как x>0x>0, то и 1x>0\frac1x>0. Получаемf(x)=1x+1+1x2.f(x)=\frac1x+\sqrt{1+\frac1{x^2}}.Преобразуем корень:1+1x2=x2+1x2.1+\frac1{x^2}=\frac{x^2+1}{x^2}.Следовательно,1+1x2=x2+1x2.\sqrt{1+\frac1{x^2}}=\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}.Так как x>0x>0, имеем x2=x\sqrt{x^2}=x, поэтомуx2+1x2=1+x2x.\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}=\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}.Таким образом,f(x)=1x+1+x2x=1+1+x2x.f(x)
    =
    \frac1x+\frac{\sqrt{1+x^2}}x
    =
    \frac{1+\sqrt{1+x^2}}x.
  3. 3
    Следовательно,f(x)=1+1+x2x,x>0.\boxed{
    f(x)=\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x},
    \qquad x>0
    }.    По условиюf(xx+1)=x2.f\left(\frac{x}{x+1}\right)=x^2.Найдем, какое выражение нужно подставить вместо старого xx, чтобы аргумент функции стал равен просто xx.
  4. 4
    Для этого решим уравнениеtt+1=x.\frac{t}{t+1}=x.Умножаем обе части на t+1t+1:t=x(t+1).t=x(t+1).Раскрываем скобки:t=xt+x.t=xt+x.Переносим xtxt в левую часть:t−xt=x.t-xt=x.Выносим tt:t(1−x)=x.t(1-x)=x.t=x1−x.t=\frac{x}{1-x}.

Проверка

Теперь в исходное равенство вместо старого xx подставляем x1−x\frac{x}{1-x}. Тогда слева действительно получаем f(x)f(x), а справа(x1−x)2.\left(\frac{x}{1-x}\right)^2.Следовательно,f(x)=x2(1−x)2,x≠1.\boxed{
f(x)=\frac{x^2}{(1-x)^2},
\qquad x\neq1
}.
Демидович № 213 — решение