Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 228

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить обратную функцию x=φ(y)x=\varphi(y) и ее область существования, если:

Задача 228

y=sh⁡x,где sh⁡x=12(ex−e−x)(−∞<x<+∞).y=\operatorname{sh}x,\quad \text{где }\operatorname{sh}x=\frac12(e^x-e^{-x})\qquad(-\infty<x<+\infty).

Решение

Идея

По определению y=12(ex−e−x).y=\frac12(e^x-e^{-x}). Умножаем обе части на 22: 2y=ex−e−x.2y=e^x-e^{-x}.
  1. 1
    Умножим равенство на ex>0e^x>0: 2yex=e2x−1.2ye^x=e^{2x}-1.

    Переносим все слагаемые в одну сторону: e2x−2yex−1=0.e^{2x}-2ye^x-1=0.

    Рассматриваем это равенство как квадратное относительно exe^x. По формуле корней находим ex=2y±4y2+42=y±y2+1.e^x=\frac{2y\pm\sqrt{4y^2+4}}{2} =y\pm\sqrt{y^2+1}. Поскольку y2+1>∣y∣,\sqrt{y^2+1}>|y|, то y−y2+1<0,y-\sqrt{y^2+1}<0, а значение exe^x всегда положительно. Тогда подходит только положительное: ex=y+y2+1.e^x=y+\sqrt{y^2+1}.

    Логарифмируя, получаем x=ln⁡(y+y2+1).x=\ln\left(y+\sqrt{y^2+1}\right).
  2. 2
    Для любого y∈Ry\in\mathbb R имеем y+y2+1>0,y+\sqrt{y^2+1}>0, поэтому найденное выражение существует при всех действительных yy.

Проверка

x=φ(y)=ln⁡(y+1+y2),y∈R.\boxed{
x=\varphi(y)=\ln\left(y+\sqrt{1+y^2}\right),\qquad y\in\mathbb R
}.
Демидович № 228 — решение