Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 228

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить обратную функцию

x=\varphi(y)

и ее область существования, если:

y=\operatorname{sh}x,\quad \text{где }\operatorname{sh}x=\frac12(e^x-e^{-x})\qquad(-\infty<x<+\infty).

Решение

По определению

y=\frac12(e^x-e^{-x}).

Умножаем обе части на

2

2y=e^x-e^{-x}.

Умножим равенство на

e^x>0

2ye^x=e^{2x}-1.

Переносим все слагаемые в одну сторону:

e^{2x}-2ye^x-1=0.

Рассматриваем это равенство как квадратное относительно

e^x

. По формуле корней находим

e^x=\frac{2y\pm\sqrt{4y^2+4}}{2} =y\pm\sqrt{y^2+1}.

Поскольку

\sqrt{y^2+1}>|y|,

то

y-\sqrt{y^2+1}<0,

а значение

e^x

всегда положительно. Тогда подходит только положительное:

e^x=y+\sqrt{y^2+1}.

Логарифмируя, получаем

x=\ln\left(y+\sqrt{y^2+1}\right).

Для любого

y\in\mathbb R

имеем

y+\sqrt{y^2+1}>0,

поэтому найденное выражение существует при всех действительных

y

x=\varphi(y)=\ln\left(y+\sqrt{1+y^2}\right),\qquad y\in\mathbb R.