Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 216

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:

Задача 216

f(x)=tg⁡x(−π2<x<π2).f(x)=\operatorname{tg}x\qquad\left(-\frac\pi2<x<\frac\pi2\right).

Доказательство

Идея

f(x)=tg⁡x,−π2<x<π2.f(x)=\operatorname{tg}x,\qquad -\frac\pi2<x<\frac\pi2. Возьмем x1<x2x_1<x_2 из этого промежутка.
Рассмотрим разность: tg⁡x2−tg⁡x1.\operatorname{tg}x_2-\operatorname{tg}x_1. Запишем тангенсы через синус и косинус: tg⁡x2−tg⁡x1=sin⁡x2cos⁡x2−sin⁡x1cos⁡x1.\operatorname{tg}x_2-\operatorname{tg}x_1
=
\frac{\sin x_2}{\cos x_2}
-
\frac{\sin x_1}{\cos x_1}. Приводим к общему знаменателю: =sin⁡x2cos⁡x1−sin⁡x1cos⁡x2cos⁡x1cos⁡x2.=
\frac{
\sin x_2\cos x_1-\sin x_1\cos x_2
}{
\cos x_1\cos x_2
}. В числителе используем формулу синуса разности: sin⁡x2cos⁡x1−sin⁡x1cos⁡x2=sin⁡(x2−x1).\sin x_2\cos x_1-\sin x_1\cos x_2=\sin(x_2-x_1). tg⁡x2−tg⁡x1=sin⁡(x2−x1)cos⁡x1cos⁡x2.\operatorname{tg}x_2-\operatorname{tg}x_1
=
\frac{\sin(x_2-x_1)}{\cos x_1\cos x_2}.Поскольку −π2<x1,x2<π2-\frac\pi2<x_1,x_2<\frac\pi2, cos⁡x1>0,cos⁡x2>0\cos x_1>0,\quad \cos x_2>0.

Кроме того, 0<x2−x1<π0<x_2-x_1<\pi, так что sin⁡(x2−x1)>0\sin(x_2-x_1)>0. tg⁡x2−tg⁡x1>0.\operatorname{tg}x_2-\operatorname{tg}x_1>0.

Проверка

tg⁡x строго возрастает на (−π2,π2).\boxed{
\operatorname{tg}x
\text{ строго возрастает на }
\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 216 — решение