Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 206

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти φ[φ(x)]\varphi[\varphi(x)], ψ[ψ(x)]\psi[\psi(x)], φ[ψ(x)]\varphi[\psi(x)] и ψ[φ(x)]\psi[\varphi(x)], если:

Задача 206

φ(x)=x2иψ(x)=2x.\varphi(x)=x^2\quad\text{и}\quad\psi(x)=2^x.

Решение

  1. 1
    Даны φ(x)=x2,ψ(x)=2x.\varphi(x)=x^2,\qquad \psi(x)=2^x.
  2. 2
    Сначала φ[φ(x)]=φ(x2).\varphi[\varphi(x)]=\varphi(x^2). Поскольку φ(t)=t2\varphi(t)=t^2, находим φ(x2)=(x2)2=x4.\varphi(x^2)=(x^2)^2=x^4. φ[φ(x)]=x4.\boxed{\varphi[\varphi(x)]=x^4}.
  3. 3
    Теперь ψ[ψ(x)]=ψ(2x).\psi[\psi(x)]=\psi(2^x). Так как ψ(t)=2t\psi(t)=2^t, то ψ[ψ(x)]=22x.\boxed{\psi[\psi(x)]=2^{2^x}}.
  4. 4
    Далее φ[ψ(x)]=φ(2x)=(2x)2=22x.\varphi[\psi(x)]=\varphi(2^x)=(2^x)^2=2^{2x}. φ[ψ(x)]=22x.\boxed{\varphi[\psi(x)]=2^{2x}}.

Проверка

Наконец, ψ[φ(x)]=ψ(x2)=2x2.\psi[\varphi(x)]=\psi(x^2)=2^{x^2}. ψ[φ(x)]=2x2.\boxed{\psi[\varphi(x)]=2^{x^2}}.
Демидович № 206 — решение