Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 212

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 212

Найти f(x)f(x), еслиf ⁣(x+1x)=x2+1x2(∣x∣≥2).f\!\left(x+\frac1x\right)=x^2+\frac1{x^2}\qquad(|x|\ge2).

Решение

Идея

По условию f(x+1x)=x2+1x2.f\left(x+\frac1x\right)=x^2+\frac1{x^2}. Заметим, что (x+1x)2=x2+2+1x2.\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+2+\frac1{x^2}. x2+1x2=(x+1x)2−2.x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2. Тогда исходное равенство можно записать так: f(x+1x)=(x+1x)2−2.f\left(x+\frac1x\right)=\left(x+\frac1x\right)^2-2. Значит, если аргумент функции обозначить через uu: u=x+1x,u=x+\frac1x, то f(u)=u2−2.f(u)=u^2-2. f(x)=x2−2f(x)=x^2-2 на тех значениях xx, которые может принимать выражение x+1xx+\frac1x при ∣x∣≥2|x|\geq2.
  1. 1
    Если x≥2x\geq2, то x+1xx+\frac1x принимает значения от 2+12=522+\frac12=\frac52 до +∞+\infty.
  2. 2
    Если x≤−2x\leq-2, то получаются значения от −∞-\infty до −2−12=−52.-2-\frac12=-\frac52.

Проверка

f(x)=x2−2,∣x∣≥52.\boxed{
f(x)=x^2-2,
\qquad
|x|\geq\frac52
}.
Демидович № 212 — решение