Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 212

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

f(x)

, если

f\!\left(x+\frac1x\right)=x^2+\frac1{x^2}\qquad(|x|\ge2).

Решение

Положим

u=x+\frac1x

. Тогда

x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2=u^2-2,

так что условие задаёт формулу

f(u)=u^2-2

на всех достижимых значениях

u

Осталось найти эти значения. При

x\ge2

функция

x+\frac1x

строго возрастает: для

v>u\ge2

\left(v+\frac1v\right)-\left(u+\frac1u\right)=(v-u)\left(1-\frac1{uv}\right)>0.

Значит, её значения образуют

[\frac52,+\infty)

. Для

x\le-2

из нечётности выражения получаем

(-\infty,-\frac52]

. Других значений аргумента у

f

условие не задаёт. Итак,

f(u)=u^2-2\quad\text{при}\quad |u|\ge\frac52.