Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 202

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 202

Доказать, что если для показательной функцииf(x)=ax(a>0)f(x)=a^x\qquad(a>0)значения аргумента x=xnx=x_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции yn=f(xn)y_n=f(x_n) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) образуют геометрическую прогрессию.

Доказательство

Идея

Пусть x1,x2,…x_1,x_2,\ldots образуют арифметическую прогрессию с разностью dd. xn+1−xn=d.x_{n+1}-x_n=d.
  1. 1
    Дана показательная функция f(x)=ax,a>0.f(x)=a^x,\qquad a>0. Соответствующие значения функции равны yn=axn.y_n=a^{x_n}.
  2. 2
    Рассмотрим отношение двух соседних членов: yn+1yn=axn+1axn.\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{a^{x_{n+1}}}{a^{x_n}}. Используя свойства степеней, находим axn+1axn=axn+1−xn.\frac{a^{x_{n+1}}}{a^{x_n}} = a^{x_{n+1}-x_n}. Поскольку xn+1−xn=dx_{n+1}-x_n=d, то yn+1yn=ad.\frac{y_{n+1}}{y_n}=a^d. Это отношение не зависит от nn.

Проверка

Отсюда последовательность y1,y2,…y_1,y_2,\ldots образует геометрическую прогрессию со знаменателем ada^d.

Что и требовалось доказать

Демидович № 202 — решение