Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 231

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 231

Функция f(x)f(x), определенная в симметричном интервале (−l,l)(-l,l), называется четной, еслиf(−x)≡f(x),f(-x)\equiv f(x),и нечетной, еслиf(−x)≡−f(x).f(-x)\equiv-f(x).Определить, какие из данных функций f(x)f(x) являются четными, а какие нечетными:а) f(x)=3x−x3;б) f(x)=(1−x)23+(1+x)23;\text{а) }f(x)=3x-x^3;\qquad \text{б) }f(x)=\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)^2};в) f(x)=ax+a−x (a>0);г) f(x)=ln⁡1−x1+x;\text{в) }f(x)=a^x+a^{-x}\ (a>0);\qquad \text{г) }f(x)=\ln\frac{1-x}{1+x};д) f(x)=ln⁡(x+1+x2).\text{д) }f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).

Решение

Пункт а)

f(x)=3x−x3.f(x)=3x-x^3. Заменяем xx на −x-x: f(−x)=3(−x)−(−x)3=−3x+x3=−(3x−x3)=−f(x).f(-x)=3(-x)-(-x)^3=-3x+x^3=-(3x-x^3)=-f(x). f(x) — нечетная функция.f(x)\text{ — нечетная функция}.

Пункт б)

f(x)=(1−x)23+(1+x)23.f(x)=\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)^2}. Заменяем xx на −x-x: f(−x)=(1+x)23+(1−x)23.f(-x) = \sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}.

Слагаемые лишь поменялись местами, поэтому f(−x)=f(x).f(-x)=f(x). f(x) — четная функция.f(x)\text{ — четная функция}.

Пункт в)

f(x)=ax+a−x.f(x)=a^x+a^{-x}. f(−x)=a−x+ax=ax+a−x=f(x).f(-x)=a^{-x}+a^x=a^x+a^{-x}=f(x). f(x) — четная функция.f(x)\text{ — четная функция}.

Пункт г)

f(x)=ln⁡1−x1+x.f(x)=\ln\frac{1-x}{1+x}. Функция определена при −1<x<1,-1<x<1, то есть на симметричном интервале.

Заменяем xx на −x-x: f(−x)=ln⁡1+x1−x.f(-x)=\ln\frac{1+x}{1-x}. Поскольку 1+x1−x=11−x1+x,\frac{1+x}{1-x}
=
\frac{1}{\dfrac{1-x}{1+x}}, то f(−x)=ln⁡11−x1+x=−ln⁡1−x1+x=−f(x).f(-x)
=
\ln\frac{1}{\dfrac{1-x}{1+x}}
=
-\ln\frac{1-x}{1+x}
=
-f(x). f(x) — нечетная функция.f(x)\text{ — нечетная функция}.

Пункт д)

f(x)=ln⁡(x+1+x2).f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right). Так как 1+x2>∣x∣,\sqrt{1+x^2}>|x|, то x+1+x2>0x+\sqrt{1+x^2}>0 при любом xx, так что функция определена на всей числовой прямой.

Заменяем xx на −x-x: f(−x)=ln⁡(−x+1+x2).f(-x)=\ln\left(-x+\sqrt{1+x^2}\right). Преобразуем выражение под логарифмом. Имеем (1+x2−x)(1+x2+x)=1+x2−x2=1.\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\left(\sqrt{1+x^2}+x\right) = 1+x^2-x^2=1. 1+x2−x=11+x2+x.\sqrt{1+x^2}-x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}. f(−x)=ln⁡1x+1+x2=−ln⁡(x+1+x2)=−f(x).f(-x)
=
\ln\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}
=
-\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)
=
-f(x). f(x) — нечетная функция.f(x)\text{ — нечетная функция}.
Демидович № 231 — решение | Высшая математика — Профиматика