Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 231

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Функция

f(x)

, определенная в симметричном интервале

(-l,l)

, называется четной, если

f(-x)\equiv f(x),

и нечетной, если

f(-x)\equiv-f(x).

Определить, какие из данных функций

f(x)

являются четными, а какие нечетными:

\text{а) }f(x)=3x-x^3;\qquad \text{б) }f(x)=\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)^2};

\text{в) }f(x)=a^x+a^{-x}\ (a>0);\qquad \text{г) }f(x)=\ln\frac{1-x}{1+x};

\text{д) }f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).

Решение

1
Пункт а)
$f(x)=3x-x^3.$ Заменяем $x$ на $-x$ : $f(-x)=3(-x)-(-x)^3=-3x+x^3=-(3x-x^3)=-f(x).$ $\boxed{f(x)\text{ — нечетная функция}.}$
2
Пункт б)
$f(x)=\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)^2}.$ Заменяем $x$ на $-x$ : $f(-x) = \sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}.$

Слагаемые лишь поменялись местами, поэтому $f(-x)=f(x).$ $\boxed{f(x)\text{ — четная функция}.}$
3
Пункт в)
$f(x)=a^x+a^{-x}.$ $f(-x)=a^{-x}+a^x=a^x+a^{-x}=f(x).$ $\boxed{f(x)\text{ — четная функция}.}$
4
Пункт г)
$f(x)=\ln\frac{1-x}{1+x}.$ Функция определена при $-1<x<1,$ то есть на симметричном интервале.

Заменяем $x$ на $-x$ : $f(-x)=\ln\frac{1+x}{1-x}.$ Поскольку $\frac{1+x}{1-x}=\frac{1}{\dfrac{1-x}{1+x}},$ то $f(-x)=\ln\frac{1}{\dfrac{1-x}{1+x}}=-\ln\frac{1-x}{1+x}=-f(x).$ $\boxed{f(x)\text{ — нечетная функция}.}$
5
Пункт д)
$f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).$ Так как $\sqrt{1+x^2}>|x|,$ то $x+\sqrt{1+x^2}>0$ при любом $x$ , так что функция определена на всей числовой прямой.

Проверка

Заменяем

x

на

-x

f(-x)=\ln\left(-x+\sqrt{1+x^2}\right).

Преобразуем выражение под логарифмом. Имеем

\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\left(\sqrt{1+x^2}+x\right) = 1+x^2-x^2=1.

\sqrt{1+x^2}-x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}.

f(-x)=\ln\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=-\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)=-f(x).

\boxed{f(x)\text{ — нечетная функция}.}