Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 236

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 236

Доказать, что если для функции f(x)f(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) выполнено равенство f(x+T)=kf(x)f(x+T)=kf(x), где kk и TT — положительные постоянные, то f(x)=axφ(x)f(x)=a^x\varphi(x), где aa — постоянная, а φ(x)\varphi(x) — периодическая функция с периодом TT.

Доказательство

Идея

По условию f(x+T)=kf(x),k>0,T>0.f(x+T)=kf(x), \quad k>0,\quad T>0. Выберем положительное число aa так, чтобы aT=k.a^T=k.
  1. 1
    Следовательно: a=k1/T.a=k^{1/T}.

    Определим функцию φ(x)=f(x)ax.\varphi(x)=\frac{f(x)}{a^x}.

    f(x)=axφ(x).f(x)=a^x\varphi(x).

    Остается доказать, что φ(x)\varphi(x) имеет период TT.
  2. 2
    Рассмотрим φ(x+T)=f(x+T)ax+T.\varphi(x+T) = \frac{f(x+T)}{a^{x+T}}. По условию f(x+T)=kf(x)f(x+T)=kf(x), а ax+T=axaT=axk.a^{x+T}=a^xa^T=a^xk.

    φ(x+T)=kf(x)axk=f(x)ax=φ(x).\varphi(x+T) = \frac{kf(x)}{a^xk} = \frac{f(x)}{a^x} = \varphi(x). Отсюда φ(x)\varphi(x) является периодической функцией с периодом TT.

Проверка

f(x)=axφ(x),a=k1/T,φ(x+T)=φ(x).\boxed{
f(x)=a^x\varphi(x),
\qquad
a=k^{1/T},
\qquad
\varphi(x+T)=\varphi(x)
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 236 — решение