Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 201

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 201

Доказать, что если для линейной функцииf(x)=ax+bf(x)=ax+bзначения аргумента x=xnx=x_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции yn=f(xn)y_n=f(x_n) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) образуют также арифметическую прогрессию.

Доказательство

Идея

Пусть числа x1,x2,…x_1,x_2,\ldots образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что существует постоянное число dd такое, что xn+1−xn=dx_{n+1}-x_n=d для любого nn.
  1. 1
    Дана линейная функция f(x)=ax+b.f(x)=ax+b. Соответствующие значения функции равны yn=f(xn)=axn+b.y_n=f(x_n)=ax_n+b.
  2. 2
    Рассмотрим разность двух соседних членов последовательности yny_n: yn+1−yn=(axn+1+b)−(axn+b).y_{n+1}-y_n = (ax_{n+1}+b)-(ax_n+b). Раскрываем скобки: yn+1−yn=axn+1+b−axn−b.y_{n+1}-y_n=ax_{n+1}+b-ax_n-b. Сокращаем bb: yn+1−yn=a(xn+1−xn).y_{n+1}-y_n=a(x_{n+1}-x_n). Но xn+1−xn=dx_{n+1}-x_n=d, поэтому yn+1−yn=ad.y_{n+1}-y_n=ad. Полученная разность не зависит от nn.

Проверка

Отсюда последовательность y1,y2,…y_1,y_2,\ldots является арифметической прогрессией с разностью adad.

Что и требовалось доказать

Демидович № 201 — решение