Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 201

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 201

Доказать, что если для линейной функцииf(x)=ax+bf(x)=ax+bзначения аргумента x=xnx=x_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции yn=f(xn)y_n=f(x_n) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) образуют также арифметическую прогрессию.

Доказательство

У арифметической прогрессии разность соседних членов постоянна: xn+1−xn=dx_{n+1}-x_n=d. Поэтому значения данной функции удовлетворяют
yn+1−yn=(axn+1+b)−(axn+b)=a(xn+1−xn)=ad.y_{n+1}-y_n
=(ax_{n+1}+b)-(ax_n+b)
=a(x_{n+1}-x_n)=ad.Эта разность не зависит от nn, а значит, yny_n также образуют арифметическую прогрессию. Её разность равна adad; при a=0a=0 получается постоянная последовательность.

Что и требовалось доказать

Демидович № 201 — решение | Высшая математика — Профиматика