Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 218

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что следующие функции являются монотонно убывающими в указанных промежутках:

Задача 218

f(x)=x2(−∞<x≤0).f(x)=x^2\qquad(-\infty<x\le0).

Доказательство

Идея

f(x)=x2,−∞<x≤0.f(x)=x^2,\quad -\infty<x\leq0. Возьмем x1<x2≤0x_1<x_2\leq0. Рассмотрим f(x2)−f(x1)=x22−x12.f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2. По формуле разности квадратов x22−x12=(x2−x1)(x2+x1).x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1). Первый множитель положителен: x2−x1>0x_2-x_1>0. При этом x1<x2≤0x_1<x_2\leq0, так что x1+x2<0x_1+x_2<0. (x2−x1)(x2+x1)<0.(x_2-x_1)(x_2+x_1)<0. То есть f(x2)−f(x1)<0,f(x_2)-f(x_1)<0, и поэтому f(x2)<f(x1)f(x_2)<f(x_1).
f(x)=x2 строго убывает на (−∞,0].\boxed{
f(x)=x^2
\text{ строго убывает на }(-\infty,0]
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 218 — решение