Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 234

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что для функции Дирихле

\chi(x)=\begin{cases}1,&\text{если }x\text{ рационально},\\0,&\text{если }x\text{ иррационально},\end{cases}

периодом является любое рациональное число.

Доказательство

Идея

Пусть

T>0

— произвольное рациональное число. Покажем, что

\chi(x\pm T)=\chi(x)

при любом

x

1
Если $x$ рационально, то сумма и разность двух рациональных чисел также рациональны. $x+T\in\mathbb Q,\qquad x-T\in\mathbb Q,$ и $\chi(x+T)=\chi(x-T)=1=\chi(x).$
2
Если $x$ иррационально, то $x+T$ и $x-T$ также иррациональны. Действительно, если бы, например, $x+T$ было рациональным, то $x=(x+T)-T$ было бы разностью двух рациональных чисел и потому было бы рациональным, что противоречит условию. Аналогично для $x-T$ .

$\chi(x+T)=\chi(x-T)=0=\chi(x).$

Проверка

Итак, любое положительное рациональное число является периодом функции Дирихле:

\boxed{T\in\mathbb Q,\quad T>0.}

Что и требовалось доказать