Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 203

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 203

Пусть функция f(u)f(u) определена при 0<u<10<u<1. Найти области определения функций:а) f(sin⁡x);б) f(ln⁡x);в) f ⁣([x]x).\text{а) }f(\sin x);\qquad \text{б) }f(\ln x);\qquad \text{в) }f\!\left(\frac{[x]}x\right).

Решение

Идея

Функция f(u)f(u) определена только при 0<u<10<u<1. Тогда в каждом случае нужно потребовать, чтобы выражение, стоящее вместо uu, находилось между 00 и 11.
  1. 1

    Пункт а)

    f(sin⁡x)f(\sin x).

    Необходимо 0<sin⁡x<1.0<\sin x<1. Синус положителен на промежутках 2πk<x<π+2πk,k∈Z.2\pi k<x<\pi+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. Однако значение sin⁡x=1\sin x=1 не допускается. Оно достигается при x=π2+2πk.x=\frac\pi2+2\pi k. Тогда область определения: x∈⋃k∈Z[(2πk,π2+2πk)∪(π2+2πk,π+2πk)].\boxed{
    x\in
    \bigcup_{k\in\mathbb Z}
    \left[
    \left(2\pi k,\frac\pi2+2\pi k\right)
    \cup
    \left(\frac\pi2+2\pi k,\pi+2\pi k\right)
    \right].
    }
  2. 2

    Пункт б)

    f(ln⁡x)f(\ln x).

    Необходимо 0<ln⁡x<1.0<\ln x<1. Поскольку логарифмическая функция возрастает, находим e0<x<e1.e^0<x<e^1. То есть 1<x<e.\boxed{1<x<e}.
  3. 3

    Пункт в)

    f([x]x)f\left(\dfrac{[x]}x\right).

    Необходимо 0<[x]x<1.0<\frac{[x]}x<1. Сначала заметим, что x≠0x\neq0.
  4. 4
    Если 0<x<10<x<1, то [x]=0[x]=0, поэтому [x]x=0,\frac{[x]}x=0, что не подходит.
  5. 5
    Если x<0x<0, то по определению целой части [x]≤x<0.[x]\leq x<0. Делим неравенство [x]≤x[x]\leq x на отрицательное число xx. Знак неравенства меняется: [x]x≥1.\frac{[x]}x\geq1. Это также не подходит.

    Остается случай x>1x>1. Если xx является целым числом, то [x]=x[x]=x, поэтому [x]x=1,\frac{[x]}x=1, что не допускается.
  6. 6
    Если же n<x<n+1,n=1,2,…,n<x<n+1,\qquad n=1,2,\ldots, то [x]=n[x]=n. При этом 0<n<x0<n<x, поэтому 0<nx<1.0<\frac nx<1.

Проверка

x∈⋃n=1∞(n,n+1).\boxed{
x\in
\bigcup_{n=1}^{\infty}(n,n+1)
}.
Демидович № 203 — решение