Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 222

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Можно ли почленно логарифмировать неравенство?

Решение

Идея

Почленно логарифмировать неравенство можно не всегда.

1
Прежде всего, логарифмы обеих частей должны существовать, то есть обе части неравенства должны быть положительными.

Пусть, например, $A>B>0.$
2
Если берется логарифм по основанию $a>1$ , то функция $\log_a x$ строго возрастает. Тогда знак неравенства сохраняется: $A>B \quad\Longrightarrow\quad \log_a A>\log_a B.$

Например, $8>4$ и при логарифмировании по основанию $2$ $\log_2 8>\log_2 4,$ то есть $3>2$ .
3
Если же $0<a<1$ , то функция $\log_a x$ строго убывает. Отсюда при логарифмировании знак неравенства меняется: $A>B>0 \quad\Longrightarrow\quad \log_a A<\log_a B.$
4
Если хотя бы одна из частей неравенства неположительна, то ее вещественный логарифм вообще не определен.

Проверка

\boxed{\begin{aligned}&A>B>0,\ a>1&&\Longrightarrow&\log_a A&>\log_a B,\\&A>B>0,\ 0<a<1&&\Longrightarrow&\log_a A&<\log_a B.\end{aligned}}

То есть логарифмировать неравенство можно только с учетом области определения и монотонности логарифмической функции.