Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 222

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 222

Можно ли почленно логарифмировать неравенство?

Решение

Почленно логарифмировать неравенство можно не всегда.

Прежде всего, логарифмы обеих частей должны существовать, то есть обе части неравенства должны быть положительными.

Пусть, например,

A>B>0.

Если берется логарифм по основанию

a>1

, то функция

\log_a x

строго возрастает. Тогда знак неравенства сохраняется:

A>B \quad\Longrightarrow\quad \log_a A>\log_a B.

Например,

8>4

и при логарифмировании по основанию

2

\log_2 8>\log_2 4,

то есть

3>2

Если же

0<a<1

, то функция

\log_a x

строго убывает. Отсюда при логарифмировании знак неравенства меняется:

A>B>0 \quad\Longrightarrow\quad \log_a A<\log_a B.

Если хотя бы одна из частей неравенства неположительна, то ее вещественный логарифм вообще не определен.

\begin{aligned}&A>B>0,\ a>1&&\Longrightarrow&\log_a A&>\log_a B,\\&A>B>0,\ 0<a<1&&\Longrightarrow&\log_a A&<\log_a B.\end{aligned}

То есть логарифмировать неравенство можно только с учетом области определения и монотонности логарифмической функции.