Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 223

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 223

Пусть φ(x)\varphi(x), ψ(x)\psi(x) и f(x)f(x) — монотонно возрастающие функции. Доказать, что еслиφ(x)≤f(x)≤ψ(x),\varphi(x)\le f(x)\le\psi(x),тоφ[φ(x)]≤f[f(x)]≤ψ[ψ(x)].\varphi[\varphi(x)]\le f[f(x)]\le\psi[\psi(x)].

Доказательство

Идея

По условию для любого xx φ(x)≤f(x)≤ψ(x).\varphi(x)\leq f(x)\leq\psi(x).
  1. 1
    Поскольку функция φ\varphi монотонно возрастает и φ(x)≤f(x)\varphi(x)\leq f(x), то φ[φ(x)]≤φ[f(x)].\varphi[\varphi(x)]\leq\varphi[f(x)].

    Кроме того, неравенство φ(t)≤f(t)\varphi(t)\leq f(t) верно при любом значении аргумента tt. В частности, положив t=f(x)t=f(x), находим φ[f(x)]≤f[f(x)].\varphi[f(x)]\leq f[f(x)]. φ[φ(x)]≤φ[f(x)]≤f[f(x)].\varphi[\varphi(x)]\leq\varphi[f(x)]\leq f[f(x)].
  2. 2
    Теперь из f(x)≤ψ(x)f(x)\leq\psi(x) и монотонного возрастания функции ψ\psi получаем ψ[f(x)]≤ψ[ψ(x)].\psi[f(x)]\leq\psi[\psi(x)].

    С другой стороны, неравенство f(t)≤ψ(t)f(t)\leq\psi(t) верно при любом tt, так что при t=f(x)t=f(x):

    f[f(x)]≤ψ[f(x)].f[f(x)]\leq\psi[f(x)]. f[f(x)]≤ψ[f(x)]≤ψ[ψ(x)].f[f(x)]\leq\psi[f(x)]\leq\psi[\psi(x)].

Проверка

Объединяя полученные неравенства, имеем φ[φ(x)]≤f[f(x)]≤ψ[ψ(x)].\boxed{
\varphi[\varphi(x)]\leq f[f(x)]\leq\psi[\psi(x)]
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 223 — решение | Высшая математика — Профиматика