Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 209

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

f[f(x)]

f\{f[f(x)]\}

, если

f(x)=\frac1{1-x}.

Решение

f(x)=\frac1{1-x}.

Сначала найдем

f[f(x)]

. Вместо аргумента

x

в формулу функции подставляем

f(x)=\frac1{1-x}.

Находим

f[f(x)] = \frac1{1-\frac1{1-x}}.

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

1-\frac1{1-x}=\frac{1-x}{1-x}-\frac1{1-x}=\frac{-x}{1-x}.

f[f(x)]=\frac1{-\frac{x}{1-x}}.

f[f(x)]=\frac{x-1}{x}.

Найдем

f\{f[f(x)]\}

. В формулу

f(t)=\frac1{1-t}

подставляем

t=\frac{x-1}{x}

. Получаем

f\{f[f(x)]\} = \frac1{1-\frac{x-1}{x}}.

Приводим к общему знаменателю:

1-\frac{x-1}{x}=\frac{x}{x}-\frac{x-1}{x}=\frac1x.

f\{f[f(x)]\} = \frac1{\frac{1}{x}} = x.

f[f(x)]=\frac{x-1}{x},\qquadf\{f[f(x)]\}=x,

где для композиции нужно

x\neq0,\qquad x\neq1