Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 209

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

f[f(x)]

f\{f[f(x)]\}

, если

f(x)=\frac1{1-x}.

Решение

1
$f(x)=\frac1{1-x}.$
2
Сначала найдем $f[f(x)]$ . Вместо аргумента $x$ в формулу функции подставляем $f(x)=\frac1{1-x}.$ Находим $f[f(x)] = \frac1{1-\frac1{1-x}}.$ Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю: $1-\frac1{1-x}=\frac{1-x}{1-x}-\frac1{1-x}=\frac{-x}{1-x}.$ $f[f(x)]=\frac1{-\frac{x}{1-x}}.$ $\boxed{f[f(x)]=\frac{x-1}{x}}.$
3
Найдем $f\{f[f(x)]\}$ . В формулу $f(t)=\frac1{1-t}$ подставляем $t=\frac{x-1}{x}$ . Получаем $f\{f[f(x)]\} = \frac1{1-\frac{x-1}{x}}.$ Приводим к общему знаменателю: $1-\frac{x-1}{x}=\frac{x}{x}-\frac{x-1}{x}=\frac1x.$ $f\{f[f(x)]\} = \frac1{1/x} = x.$

Проверка

\boxed{f[f(x)]=\frac{x-1}{x},\qquadf\{f[f(x)]\}=x},

где для композиции нужно

x\neq0,\qquad x\neq1