Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 235

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 235

1. Доказать, что сумма и произведение двух периодических функций, которые определены на общем множестве и периоды которых соизмеримы, есть функции также периодические.

2. Функция f(x)f(x) называется антипериодической, еслиf(x+T)≡−f(x)(T>0).f(x+T)\equiv-f(x)\qquad(T>0).Доказать, что f(x)f(x) — периодическая функция с периодом 2T2T.

Доказательство

  1. 1
    Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) — периодические функции с периодами соответственно T1T_1 и T2T_2. По условию их периоды соизмеримы, то естьT1T2∈Q.\frac{T_1}{T_2}\in\mathbb Q.Следовательно, существуют натуральные числа mm и nn такие, чтоT1T2=nm.\frac{T_1}{T_2}=\frac nm.Перемножая крест-накрест, получаемmT1=nT2.mT_1=nT_2.Обозначим это общее число черезT=mT1=nT2.T=mT_1=nT_2.Так как TT является целым кратным периода T1T_1, тоf(x+T)=f(x).f(x+T)=f(x).Аналогично, поскольку TT является целым кратным периода T2T_2,g(x+T)=g(x).g(x+T)=g(x).Поэтому для суммы(f+g)(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).(f+g)(x+T)
    =
    f(x+T)+g(x+T)
    =
    f(x)+g(x)
    =
    (f+g)(x).    Следовательно, f+gf+g периодична.
  2. 2
    Для произведения(fg)(x+T)=f(x+T)g(x+T)=f(x)g(x)=(fg)(x).(fg)(x+T)
    =
    f(x+T)g(x+T)
    =
    f(x)g(x)
    =
    (fg)(x).    Следовательно, fgfg также периодична.

    Таким образом,f+g и fg являются периодическими функциями.\boxed{
    f+g\text{ и }fg\text{ являются периодическими функциями}.
    }

Проверка

По условиюf(x+T)=−f(x).f(x+T)=-f(x).Заменим xx на x+Tx+T:f(x+2T)=−f(x+T).f(x+2T)=-f(x+T).Ноf(x+T)=−f(x),f(x+T)=-f(x),поэтомуf(x+2T)=−(−f(x))=f(x).f(x+2T)=-(-f(x))=f(x).Следовательно,2T является периодом функции f(x).\boxed{2T\text{ является периодом функции }f(x).}

Что и требовалось доказать

Демидович № 235 — решение