Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 230

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить обратную функцию x=φ(y)x=\varphi(y) и ее область существования, если:

Задача 230

y={x,−∞<x<1;x2,1≤x≤4;2x,4<x<+∞.y=\begin{cases}x,&-\infty<x<1;\\x^2,&1\le x\le4;\\2^x,&4<x<+\infty.\end{cases}

Решение

  1. 1
    Рассмотрим отдельно каждую часть функции.
  2. 2
    Если x<1x<1, то y=x,y=x, поэтому −∞<y<1,x=y.-\infty<y<1,\qquad x=y.
  3. 3
    Если 1≤x≤41\leq x\leq4, то y=x2.y=x^2. Поскольку x≥0x\geq0, находим 1≤y≤16,x=y.1\leq y\leq16,\qquad x=\sqrt y.
  4. 4
    Если x>4x>4, то y=2x.y=2^x. Так как 24=162^4=16 и функция 2x2^x возрастает, то y>16.y>16. Из y=2xy=2^x получаем x=log⁡2y.x=\log_2y.

Проверка

Итак, множества значений трех частей равны (−∞,1),[1,16],(16,+∞),(-\infty,1),\quad [1,16],\quad (16,+\infty), то есть вместе они дают всю числовую прямую. Значит, обратная функция существует при любом y∈Ry\in\mathbb R и имеет вид x=φ(y)={y,y<1,y,1≤y≤16,log⁡2y,y>16.\boxed{
x=\varphi(y)=
\begin{cases}
y,&y<1,\\
\sqrt y,&1\leq y\leq16,\\
\log_2y,&y>16.
\end{cases}
}
Демидович № 230 — решение