Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 230

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить обратную функцию

x=\varphi(y)

и ее область существования, если:

y=\begin{cases}x,&-\infty<x<1;\\x^2,&1\le x\le4;\\2^x,&4<x<+\infty.\end{cases}

Решение

Рассмотрим отдельно каждую часть функции.

Если

x<1

, то

y=x,

поэтому

-\infty<y<1,\qquad x=y.

Если

1\leq x\leq4

, то

y=x^2.

Поскольку

x\geq0

, находим

1\leq y\leq16,\qquad x=\sqrt y.

Если

x>4

, то

y=2^x.

Так как

2^4=16

и функция

2^x

возрастает, то

y>16.

Из

y=2^x

получаем

x=\log_2y.

Итак, множества значений трех частей равны

(-\infty,1),\quad [1,16],\quad (16,+\infty),

то есть вместе они дают всю числовую прямую. Каждая ветвь строго возрастает, а их множества значений попарно не пересекаются. Поэтому каждому

y\in\mathbb R

соответствует ровно один

x

. Обратная функция существует при любом

y\in\mathbb R

и имеет вид

x=\varphi(y)=\begin{cases}y,&y<1,\\\sqrt y,&1\leq y\leq16,\\\log_2y,&y>16.\end{cases}