Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 221

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 221

Исследовать на монотонность следующие функции:а) f(x)=ax+b;б) f(x)=ax2+bx+c;\text{а) }f(x)=ax+b;\qquad \text{б) }f(x)=ax^2+bx+c;в) f(x)=x3;г) f(x)=ax+bcx+d;д) f(x)=ax (a>0).\text{в) }f(x)=x^3;\qquad \text{г) }f(x)=\frac{ax+b}{cx+d};\qquad \text{д) }f(x)=a^x\ (a>0).

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Рассмотрим f(x)=ax+b.f(x)=ax+b. Для x1<x2x_1<x_2 имеем f(x2)−f(x1)=(ax2+b)−(ax1+b).f(x_2)-f(x_1)=(ax_2+b)-(ax_1+b). Раскрываем скобки: f(x2)−f(x1)=a(x2−x1).f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1). Поскольку x2−x1>0x_2-x_1>0, знак разности определяется знаком aa.{f строго возрастает,a>0,f строго убывает,a<0,f постоянна,a=0.\boxed{
    \begin{cases}
    f\text{ строго возрастает},&a>0,\\
    f\text{ строго убывает},&a<0,\\
    f\text{ постоянна},&a=0.
    \end{cases}
    }
  2. 2

    Пункт б)

    Рассмотрим f(x)=ax2+bx+c,a≠0.f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq0. Выделим полный квадрат: ax2+bx+c=a(x2+bax)+c.ax^2+bx+c = a\left(x^2+\frac ba x\right)+c. Внутри скобок x2+bax=(x+b2a)2−b24a2.x^2+\frac ba x
    =
    \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}.     f(x)=a(x+b2a)2+c−b24a.f(x) = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}. Обозначим точку вершины x0=−b2a.x_0=-\frac{b}{2a}. f(x)=a(x−x0)2+постоянное число.f(x)=a(x-x_0)^2+\text{постоянное число}.
  3. 3
    Если a>0a>0, то при движении слева к x0x_0 величина (x−x0)2(x-x_0)^2 уменьшается, а после x0x_0 увеличивается. a>0:f убывает на (−∞,x0] и возрастает на [x0,+∞).\boxed{
    a>0:
    \quad
    f\text{ убывает на }(-\infty,x_0]
    \text{ и возрастает на }[x_0,+\infty).
    }
  4. 4
    Если a<0a<0, умножение на отрицательное число меняет направление изменения. a<0:f возрастает на (−∞,x0] и убывает на [x0,+∞).\boxed{
    a<0:
    \quad
    f\text{ возрастает на }(-\infty,x_0]
    \text{ и убывает на }[x_0,+\infty).
    }     Здесь x0=−b2a.\boxed{x_0=-\frac{b}{2a}}.
  5. 5
    Если a=0a=0, функция становится линейной f(x)=bx+c,f(x)=bx+c, и ее монотонность определяется знаком bb.
  6. 6

    Пункт в)

    Рассмотрим f(x)=x3.f(x)=x^3. Возьмем x1<x2x_1<x_2. f(x2)−f(x1)=x23−x13.f(x_2)-f(x_1)=x_2^3-x_1^3. Используем формулу разности кубов: x23−x13=(x2−x1)(x22+x1x2+x12).x_2^3-x_1^3 = (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2). Первый множитель положителен: x2−x1>0x_2-x_1>0. Покажем, что второй множитель также положителен. Преобразуем: x22+x1x2+x12=(x2+x12)2+34x12.x_2^2+x_1x_2+x_1^2 = \left(x_2+\frac{x_1}{2}\right)^2+\frac34x_1^2. Это сумма квадратов, так что она неотрицательна. Равной нулю она могла бы быть только при x1=x2=0x_1=x_2=0, что невозможно, поскольку x1<x2x_1<x_2.
  7. 7
    Следовательно, x22+x1x2+x12>0.x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0. x23−x13>0.x_2^3-x_1^3>0.f(x)=x3 строго возрастает на R.\boxed{
    f(x)=x^3
    \text{ строго возрастает на }\mathbb R
    }.
  8. 8

    Пункт г)

    Рассмотрим f(x)=ax+bcx+d.f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}. Функция определена при cx+d≠0.cx+d\neq0.

    Возьмем два числа x1<x2x_1<x_2 из одного промежутка области определения и рассмотрим f(x2)−f(x1).f(x_2)-f(x_1). f(x2)−f(x1)=ax2+bcx2+d−ax1+bcx1+d.f(x_2)-f(x_1) = \frac{ax_2+b}{cx_2+d} - \frac{ax_1+b}{cx_1+d}. Приводим к общему знаменателю: f(x2)−f(x1)=(ax2+b)(cx1+d)−(ax1+b)(cx2+d)(cx2+d)(cx1+d).f(x_2)-f(x_1)
    =
    \frac{
    (ax_2+b)(cx_1+d)-(ax_1+b)(cx_2+d)
    }{
    (cx_2+d)(cx_1+d)
    }.     Раскроем скобки в числителе: (ax2+b)(cx1+d)=acx1x2+adx2+bcx1+bd,(ax_2+b)(cx_1+d) = acx_1x_2+ad x_2+bcx_1+bd, (ax1+b)(cx2+d)=acx1x2+adx1+bcx2+bd.(ax_1+b)(cx_2+d) = acx_1x_2+ad x_1+bcx_2+bd. Вычитаем: acx1x2+adx2+bcx1+bd−acx1x2−adx1−bcx2−bd.acx_1x_2+ad x_2+bcx_1+bd - acx_1x_2-ad x_1-bcx_2-bd. Одинаковые слагаемые сокращаются: =ad(x2−x1)−bc(x2−x1).=ad(x_2-x_1)-bc(x_2-x_1). Выносим общий множитель: =(ad−bc)(x2−x1).=(ad-bc)(x_2-x_1). f(x2)−f(x1)=(ad−bc)(x2−x1)(cx2+d)(cx1+d).f(x_2)-f(x_1) = \frac{(ad-bc)(x_2-x_1)} {(cx_2+d)(cx_1+d)}.
  9. 9
    Если x1x_1 и x2x_2 находятся в одном промежутке области определения, то числа cx1+d,cx2+dcx_1+d,\qquad cx_2+d имеют одинаковый знак. (cx2+d)(cx1+d)>0.(cx_2+d)(cx_1+d)>0. Кроме того, x2−x1>0x_2-x_1>0. Отсюда знак разности определяется числом ad−bcad-bc.

    Тогда на каждом промежутке области определения {f строго возрастает,ad−bc>0,f строго убывает,ad−bc<0,f постоянна,ad−bc=0.\boxed{
    \begin{cases}
    f\text{ строго возрастает},&ad-bc>0,\\
    f\text{ строго убывает},&ad-bc<0,\\
    f\text{ постоянна},&ad-bc=0.
    \end{cases}
    }
  10. 10
    Если c≠0c\neq0, то область определения разбивается точкой x=−dcx=-\frac dc на два промежутка (−∞,−dc),(−dc,+∞).\left(-\infty,-\frac dc\right), \quad \left(-\frac dc,+\infty\right).
  11. 11

    Пункт д)

    Рассмотрим f(x)=ax,a>0.f(x)=a^x,\quad a>0. Возьмем x1<x2x_1<x_2. Рассмотрим отношение значений функции: f(x2)f(x1)=ax2ax1=ax2−x1.\frac{f(x_2)}{f(x_1)} = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = a^{x_2-x_1}. Так как x2−x1>0x_2-x_1>0, находим следующие случаи.
  12. 12
    Если a>1a>1, то для любого положительного показателя ax2−x1>1a^{x_2-x_1}>1. Тогда f(x2)>f(x1)f(x_2)>f(x_1), то есть функция строго возрастает.
  13. 13
    Если 0<a<10<a<1, то 0<ax2−x1<1,0<a^{x_2-x_1}<1, поэтому f(x2)<f(x1)f(x_2)<f(x_1), то есть функция строго убывает.
  14. 14
    Если a=1a=1, то f(x)=1x=1,f(x)=1^x=1, то есть функция постоянна.

Проверка

{ax строго возрастает,a>1,ax строго убывает,0<a<1,ax постоянна,a=1.\boxed{
\begin{cases}
a^x\text{ строго возрастает},&a>1,\\
a^x\text{ строго убывает},&0<a<1,\\
a^x\text{ постоянна},&a=1.
\end{cases}
}
Демидович № 221 — решение