Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 229

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить обратную функцию x=φ(y)x=\varphi(y) и ее область существования, если:

Задача 229

y=th⁡x,где th⁡x=ex−e−xex+e−x(−∞<x<+∞).y=\operatorname{th}x,\quad \text{где }\operatorname{th}x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\qquad(-\infty<x<+\infty).

Решение

Идея

y=ex−e−xex+e−x.y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}. Умножим числитель и знаменатель на exe^x: y=e2x−1e2x+1.y=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.
  1. 1
    Сначала найдем множество значений yy. Поскольку ex>0e^x>0 и e−x>0e^{-x}>0, то ∣ex−e−x∣<ex+e−x.|e^x-e^{-x}|<e^x+e^{-x}. ∣ex−e−xex+e−x∣<1,\left|\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right|<1, то есть −1<y<1.-1<y<1.
  2. 2
    Теперь выразим xx через yy: y(e2x+1)=e2x−1.y(e^{2x}+1)=e^{2x}-1. Раскрываем скобки: ye2x+y=e2x−1.ye^{2x}+y=e^{2x}-1.

    Переносим слагаемые: e2x−ye2x=1+y.e^{2x}-ye^{2x}=1+y. Выносим e2xe^{2x}: e2x(1−y)=1+y.e^{2x}(1-y)=1+y.

    Поскольку −1<y<1-1<y<1, 1−y>01-y>0, и e2x=1+y1−y.e^{2x}=\frac{1+y}{1-y}.

    Логарифмируем: 2x=ln⁡1+y1−y,2x=\ln\frac{1+y}{1-y}, откуда x=12ln⁡1+y1−y.x=\frac12\ln\frac{1+y}{1-y}.

Проверка

x=φ(y)=12ln⁡1+y1−y,−1<y<1.\boxed{
x=\varphi(y)=\frac12\ln\frac{1+y}{1-y},
\qquad -1<y<1
}.
Демидович № 229 — решение