Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 229

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить обратную функцию

x=\varphi(y)

и ее область существования, если:

y=\operatorname{th}x,\quad \text{где }\operatorname{th}x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\qquad(-\infty<x<+\infty).

Решение

y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.

Умножим числитель и знаменатель на

e^x

y=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.

Сначала найдем множество значений

y

. Поскольку

e^x>0

e^{-x}>0

, то

|e^x-e^{-x}|<e^x+e^{-x}.

\left|\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right|<1,

то есть

-1<y<1.

Теперь выразим

x

через

y

y(e^{2x}+1)=e^{2x}-1.

Раскрываем скобки:

ye^{2x}+y=e^{2x}-1.

Переносим слагаемые:

e^{2x}-ye^{2x}=1+y.

Выносим

e^{2x}

e^{2x}(1-y)=1+y.

Поскольку

-1<y<1

1-y>0

, и

e^{2x}=\frac{1+y}{1-y}.

Логарифмируем:

2x=\ln\frac{1+y}{1-y},

откуда

x=\frac12\ln\frac{1+y}{1-y}.

x=\varphi(y)=\frac12\ln\frac{1+y}{1-y},\qquad -1<y<1.