Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 207

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти φ[φ(x)]\varphi[\varphi(x)], ψ[ψ(x)]\psi[\psi(x)], φ[ψ(x)]\varphi[\psi(x)] и ψ[φ(x)]\psi[\varphi(x)], если:

Задача 207

φ(x)=sgn⁡xиψ(x)=1x.\varphi(x)=\operatorname{sgn}x\quad\text{и}\quad\psi(x)=\frac1x.

Решение

Идея

Даны φ(x)=sgn⁡x,ψ(x)=1x.\varphi(x)=\operatorname{sgn}x,\qquad \psi(x)=\frac1x.
  1. 1
    Сначала φ[φ(x)]=sgn⁡(sgn⁡x).\varphi[\varphi(x)]=\operatorname{sgn}(\operatorname{sgn}x). Если x>0x>0, то sgn⁡x=1\operatorname{sgn}x=1 и sgn⁡1=1\operatorname{sgn}1=1. Если x<0x<0, то sgn⁡x=−1\operatorname{sgn}x=-1 и sgn⁡(−1)=−1\operatorname{sgn}(-1)=-1. Если x=0x=0, то sgn⁡0=0\operatorname{sgn}0=0. φ[φ(x)]=sgn⁡x.\boxed{
    \varphi[\varphi(x)]=\operatorname{sgn}x
    }.
  2. 2
    Теперь ψ[ψ(x)]=11/x.\psi[\psi(x)]=\frac1{1/x}. При x≠0x\neq0 имеем 11/x=x\frac1{1/x}=x. ψ[ψ(x)]=x,x≠0.\boxed{
    \psi[\psi(x)]=x,\qquad x\neq0
    }.
  3. 3
    Далее φ[ψ(x)]=sgn⁡1x.\varphi[\psi(x)]=\operatorname{sgn}\frac1x. Числа xx и 1x\dfrac1x имеют одинаковый знак, поэтому φ[ψ(x)]=sgn⁡x,x≠0.\boxed{
    \varphi[\psi(x)]=\operatorname{sgn}x,\qquad x\neq0
    }.

Проверка

Наконец, ψ[φ(x)]=1sgn⁡x.\psi[\varphi(x)]=\frac1{\operatorname{sgn}x}. При x≠0x\neq0 имеем sgn⁡x=±1\operatorname{sgn}x=\pm1, поэтому 1sgn⁡x=sgn⁡x.\frac1{\operatorname{sgn}x}=\operatorname{sgn}x. ψ[φ(x)]=sgn⁡x,x≠0.\boxed{
\psi[\varphi(x)]=\operatorname{sgn}x,\qquad x\neq0
}.
Демидович № 207 — решение