Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 208

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти φ[φ(x)]\varphi[\varphi(x)], ψ[ψ(x)]\psi[\psi(x)], φ[ψ(x)]\varphi[\psi(x)] и ψ[φ(x)]\psi[\varphi(x)], если:

Задача 208

φ(x)={0,x≤0,x,x>0,ψ(x)={0,x≤0,−x2,x>0.\varphi(x)=\begin{cases}0,&x\le0,\\x,&x>0,\end{cases}\qquad
\psi(x)=\begin{cases}0,&x\le0,\\-x^2,&x>0.\end{cases}

Решение

Идея

Даны φ(x)={0,x≤0,x,x>0,ψ(x)={0,x≤0,−x2,x>0.\varphi(x)=
\begin{cases}
0,&x\leq0,\\
x,&x>0,
\end{cases}
\qquad
\psi(x)=
\begin{cases}
0,&x\leq0,\\
-x^2,&x>0.
\end{cases}
  1. 1
    Сначала рассмотрим φ[φ(x)]\varphi[\varphi(x)]. Если x≤0x\leq0, то φ(x)=0\varphi(x)=0, а значит, φ[φ(x)]=φ(0)=0.\varphi[\varphi(x)]=\varphi(0)=0. Если x>0x>0, то φ(x)=x>0\varphi(x)=x>0, поэтому φ[φ(x)]=φ(x)=x.\varphi[\varphi(x)]=\varphi(x)=x. φ[φ(x)]=φ(x).\boxed{
    \varphi[\varphi(x)]=\varphi(x)
    }.
  2. 2
    Рассмотрим ψ[ψ(x)]\psi[\psi(x)]. При любом xx имеем ψ(x)≤0\psi(x)\leq0. Действительно, либо ψ(x)=0\psi(x)=0, либо ψ(x)=−x2<0\psi(x)=-x^2<0. Но если аргумент функции ψ\psi неположителен, то ее значение равно 00. ψ[ψ(x)]=0.\boxed{
    \psi[\psi(x)]=0
    }.    Аналогично, поскольку ψ(x)≤0\psi(x)\leq0, для внешней функции φ\varphi находим φ[ψ(x)]=0.\boxed{
    \varphi[\psi(x)]=0
    }.

Проверка

Наконец, рассмотрим ψ[φ(x)]\psi[\varphi(x)]. Если x≤0x\leq0, то φ(x)=0\varphi(x)=0, поэтому ψ[φ(x)]=ψ(0)=0.\psi[\varphi(x)]=\psi(0)=0. Если x>0x>0, то φ(x)=x\varphi(x)=x, следовательно, ψ[φ(x)]=ψ(x)=−x2.\psi[\varphi(x)]=\psi(x)=-x^2. ψ[φ(x)]={0,x≤0,−x2,x>0.\boxed{
\psi[\varphi(x)]
=
\begin{cases}
0,&x\leq0,\\
-x^2,&x>0.
\end{cases}
}
Демидович № 208 — решение