Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 204

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 204

Пустьf(x)=12(ax+a−x)(a>0).f(x)=\frac12(a^x+a^{-x})\qquad(a>0).Показать, чтоf(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y).f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y).

Доказательство

Идея

f(x)=12(ax+a−x).f(x)=\frac12(a^x+a^{-x}). Вычислим левую часть: f(x+y)+f(x−y).f(x+y)+f(x-y). По определению функции f(x+y)=12(ax+y+a−(x+y)),f(x−y)=12(ax−y+a−(x−y)).f(x+y)=\frac12\left(a^{x+y}+a^{-(x+y)}\right),
\qquad
f(x-y)=\frac12\left(a^{x-y}+a^{-(x-y)}\right). f(x+y)+f(x−y)=12(ax+y+a−x−y+ax−y+a−x+y).f(x+y)+f(x-y)
=
\frac12
\left(
a^{x+y}+a^{-x-y}+a^{x-y}+a^{-x+y}
\right).
Используем свойства степеней: ax+y=axay,ax−y=axa−y,a−x−y=a−xa−y,a−x+y=a−xay.a^{x+y}=a^xa^y,\qquad
a^{x-y}=a^xa^{-y},\qquad
a^{-x-y}=a^{-x}a^{-y},\qquad
a^{-x+y}=a^{-x}a^y. Находим f(x+y)+f(x−y)=12(axay+axa−y+a−xa−y+a−xay).f(x+y)+f(x-y)
=
\frac12
\left(
a^xa^y+a^xa^{-y}+a^{-x}a^{-y}+a^{-x}a^y
\right). Группируем: =12(ax+a−x)(ay+a−y).=
\frac12(a^x+a^{-x})(a^y+a^{-y}).

Проверка

Теперь f(x)f(y)=12(ax+a−x)⋅12(ay+a−y),f(x)f(y) = \frac12(a^x+a^{-x})\cdot\frac12(a^y+a^{-y}), то есть 2f(x)f(y)=12(ax+a−x)(ay+a−y).2f(x)f(y)=\frac12(a^x+a^{-x})(a^y+a^{-y}). f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y).\boxed{
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 204 — решение