Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 214

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:

Задача 214

f(x)=x2(0≤x<+∞).f(x)=x^2\qquad(0\le x<+\infty).

Доказательство

Идея

f(x)=x2,0≤x<+∞.f(x)=x^2,\qquad 0\leq x<+\infty. Возьмем любые два числа 0≤x1<x20\leq x_1<x_2. Нужно доказать, что f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2).
Рассмотрим разность: f(x2)−f(x1)=x22−x12.f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2. Используем формулу разности квадратов:

x22−x12=(x2−x1)(x2+x1).x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1). Поскольку x2>x1x_2>x_1, x2−x1>0x_2-x_1>0. Кроме того, x1≥0,x2>0x_1\geq0,\quad x_2>0, так что x2+x1>0x_2+x_1>0.

(x2−x1)(x2+x1)>0.(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0.

f(x2)−f(x1)>0,f(x_2)-f(x_1)>0, то есть f(x2)>f(x1)f(x_2)>f(x_1).

Проверка

f(x)=x2 строго возрастает на [0,+∞).\boxed{
f(x)=x^2
\text{ строго возрастает на }[0,+\infty)
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 214 — решение