Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 214

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:

f(x)=x^2\qquad(0\le x<+\infty).

Доказательство

f(x)=x^2,\qquad 0\leq x<+\infty.

Возьмем любые два числа

0\leq x_1<x_2

. Нужно доказать, что

f(x_1)<f(x_2)

Рассмотрим разность:

f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2.

Используем формулу разности квадратов:

x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1).

Поскольку

x_2>x_1

x_2-x_1>0

. Кроме того,

x_1\geq0,\quad x_2>0

, так что

x_2+x_1>0

(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0.

f(x_2)-f(x_1)>0,

то есть

f(x_2)>f(x_1)

f(x)=x^2\text{ строго возрастает на }[0,+\infty).

Что и требовалось доказать