Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 210

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 210

Пустьfn(x)=f(f(…f(x)))⏟n раз.f_n(x)=\underbrace{f(f(\ldots f(x)))}_{n\ \text{раз}}.Найти fn(x)f_n(x), еслиf(x)=x1+x2.f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.

Решение

  1. 1
    f(x)=x1+x2.f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.
  2. 2
    Сначала вычислим несколько первых итераций. Для n=1n=1 f1(x)=f(x)=x1+x2.f_1(x)=f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.
  3. 3
    Теперь f2(x)=f[f(x)]f_2(x)=f[f(x)]. Подставляем f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} в формулу функции: f2(x)=x1+x21+(x1+x2)2.f_2(x)
    =
    \frac{\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}
    {\sqrt{1+\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)^2}}.     Под корнем имеем 1+x21+x2=1+x2+x21+x2=1+2x21+x2.1+\frac{x^2}{1+x^2}
    =
    \frac{1+x^2+x^2}{1+x^2}
    =
    \frac{1+2x^2}{1+x^2}.     f2(x)=x1+x21+2x21+x2.f_2(x)
    =
    \frac{\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}
    {\sqrt{\dfrac{1+2x^2}{1+x^2}}}.     Поскольку 1+2x21+x2=1+2x21+x2,\sqrt{\frac{1+2x^2}{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+2x^2}}{\sqrt{1+x^2}}, находим f2(x)=x1+2x2.f_2(x)=\frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}.

    Возникает формула fn(x)=x1+nx2.f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{1+nx^2}}.fn(x)=x1+nx2.\boxed{
    f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{1+nx^2}}
    }.

Проверка

Докажем ее по индукции. Предположим, что fn(x)=x1+nx2.f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{1+nx^2}}. Тогда fn+1(x)=f[fn(x)]f_{n+1}(x)=f[f_n(x)] и поэтому fn+1(x)=x1+nx21+x21+nx2.f_{n+1}(x)
=
\frac{\dfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}}}
{\sqrt{1+\dfrac{x^2}{1+nx^2}}}. Приводим выражение под корнем к общему знаменателю: 1+x21+nx2=1+nx2+x21+nx2=1+(n+1)x21+nx2.1+\frac{x^2}{1+nx^2}
=
\frac{1+nx^2+x^2}{1+nx^2}
=
\frac{1+(n+1)x^2}{1+nx^2}. fn+1(x)=x1+nx21+(n+1)x21+nx2.f_{n+1}(x)
=
\frac{\dfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}}}
{\dfrac{\sqrt{1+(n+1)x^2}}{\sqrt{1+nx^2}}}. Сокращаем общий множитель: fn+1(x)=x1+(n+1)x2.f_{n+1}(x)=\frac{x}{\sqrt{1+(n+1)x^2}}. Формула доказана.
Демидович № 210 — решение