Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 217

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:

Задача 217

f(x)=2x+sin⁡x(−∞<x<+∞).f(x)=2x+\sin x\qquad(-\infty<x<+\infty).

Доказательство

f(x)=2x+sin⁡x.f(x)=2x+\sin x. Возьмем любые x1<x2x_1<x_2.
Рассмотрим разность: f(x2)−f(x1)=2x2+sin⁡x2−2x1−sin⁡x1.f(x_2)-f(x_1) = 2x_2+\sin x_2-2x_1-\sin x_1. Группируем: f(x2)−f(x1)=2(x2−x1)+(sin⁡x2−sin⁡x1).f(x_2)-f(x_1) = 2(x_2-x_1)+(\sin x_2-\sin x_1).
Используем неравенство ∣sin⁡x2−sin⁡x1∣≤∣x2−x1∣,|\sin x_2-\sin x_1|\leq|x_2-x_1|, покажем его.

По формуле разности синусов sin⁡x2−sin⁡x1=2cos⁡x1+x22sin⁡x2−x12.\sin x_2-\sin x_1 = 2\cos\frac{x_1+x_2}{2} \sin\frac{x_2-x_1}{2}. ∣sin⁡x2−sin⁡x1∣≤2∣sin⁡x2−x12∣.|\sin x_2-\sin x_1| \leq 2\left|\sin\frac{x_2-x_1}{2}\right|.

Неравенство ∣sin⁡t∣≤∣t∣|\sin t|\leq|t| можно получить из геометрии единичной окружности: при 0<t<10<t<1 площадь вписанного треугольника 12sin⁡t\frac12\sin t не больше площади сектора 12t\frac12t; при t≥1t\geq1 достаточно ∣sin⁡t∣≤1≤t|\sin t|\leq1\leq t, а отрицательные tt рассматриваются с помощью нечётности синуса. Поэтому находим ∣sin⁡x2−sin⁡x1∣≤2⋅x2−x12=x2−x1.|\sin x_2-\sin x_1| \leq 2\cdot\frac{x_2-x_1}{2} = x_2-x_1. sin⁡x2−sin⁡x1≥−(x2−x1).\sin x_2-\sin x_1\geq-(x_2-x_1).

f(x2)−f(x1)≥2(x2−x1)−(x2−x1)=x2−x1.f(x_2)-f(x_1) \geq 2(x_2-x_1)-(x_2-x_1) = x_2-x_1. Но x2−x1>0x_2-x_1>0. f(x2)−f(x1)>0.f(x_2)-f(x_1)>0.f(x)=2x+sin⁡x строго возрастает на R.f(x)=2x+\sin x
\text{ строго возрастает на }\mathbb R
.

Что и требовалось доказать

Демидович № 217 — решение | Высшая математика — Профиматика