Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 219

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что следующие функции являются монотонно убывающими в указанных промежутках:

Задача 219

f(x)=cos⁡x(0≤x≤π).f(x)=\cos x\qquad(0\le x\le\pi).

Доказательство

Идея

f(x)=cos⁡x,0≤x≤π.f(x)=\cos x,\qquad 0\leq x\leq\pi. Возьмем 0≤x1<x2≤π0\leq x_1<x_2\leq\pi. Рассмотрим разность cos⁡x2−cos⁡x1.\cos x_2-\cos x_1. Используем формулу cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2.\cos\alpha-\cos\beta
=
-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}
\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. Находим cos⁡x2−cos⁡x1=−2sin⁡x1+x22sin⁡x2−x12.\cos x_2-\cos x_1 = -2\sin\frac{x_1+x_2}{2} \sin\frac{x_2-x_1}{2}.
cos⁡x строго убывает на [0,π].\boxed{
\cos x
\text{ строго убывает на }[0,\pi]
}.

Проверка

Поскольку 0≤x1<x2≤π0\leq x_1<x_2\leq\pi, то 0<x1+x22<π,0<\frac{x_1+x_2}{2}<\pi, следовательно, sin⁡x1+x22>0.\sin\frac{x_1+x_2}{2}>0. Кроме того, 0<x2−x12≤π2,0<\frac{x_2-x_1}{2}\leq\frac\pi2, поэтому sin⁡x2−x12>0.\sin\frac{x_2-x_1}{2}>0. Перед произведением стоит знак минус, значит cos⁡x2−cos⁡x1<0.\cos x_2-\cos x_1<0. Отсюда cos⁡x2<cos⁡x1\cos x_2<\cos x_1.

Что и требовалось доказать

Демидович № 219 — решение