Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 225

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить обратную функцию x=φ(y)x=\varphi(y) и ее область существования, если:

Задача 225

y=x2;а) −∞<x≤0;б) 0≤x<+∞.y=x^2;\qquad \text{а) }-\infty<x\le0;\qquad \text{б) }0\le x<+\infty.

Решение

Идея

Из равенства y=x2y=x^2 находим x2=y,x=±y.x^2=y,\qquad x=\pm\sqrt y. При этом в обоих случаях y≥0y\geq0.
  1. 1

    Пункт а)

    −∞<x≤0-\infty<x\leq0.

    Поскольку xx должен быть неположительным, выбираем отрицательную ветвь: x=φ(y)=−y,0≤y<+∞.\boxed{
    x=\varphi(y)=-\sqrt y,\qquad 0\leq y<+\infty
    }.
  2. 2

    Пункт б)

    0≤x<+∞0\leq x<+\infty.

Проверка

Так как xx должен быть неотрицательным, выбираем положительную ветвь: x=φ(y)=y,0≤y<+∞.\boxed{
x=\varphi(y)=\sqrt y,\qquad 0\leq y<+\infty
}.
Демидович № 225 — решение