Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 215

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:

Задача 215

f(x)=sin⁡x(−π2≤x≤π2).f(x)=\sin x\qquad\left(-\frac\pi2\le x\le\frac\pi2\right).

Доказательство

Идея

f(x)=sin⁡x,−π2≤x≤π2.f(x)=\sin x,\qquad -\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2. Возьмем x1<x2x_1<x_2 из этого промежутка.
Рассмотрим разность sin⁡x2−sin⁡x1.\sin x_2-\sin x_1. Используем формулу sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2.\sin\alpha-\sin\beta
=
2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. Находим sin⁡x2−sin⁡x1=2cos⁡x1+x22sin⁡x2−x12.\sin x_2-\sin x_1 = 2\cos\frac{x_1+x_2}{2} \sin\frac{x_2-x_1}{2}.

Поскольку −π2≤x1<x2≤π2-\frac\pi2\leq x_1<x_2\leq\frac\pi2, среднее x1+x22\frac{x_1+x_2}{2} лежит строго между −π2-\dfrac\pi2 и π2\dfrac\pi2. cos⁡x1+x22>0.\cos\frac{x_1+x_2}{2}>0. Кроме того, 0<x2−x1≤π,0<x_2-x_1\leq\pi, следовательно, 0<x2−x12≤π2,0<\frac{x_2-x_1}{2}\leq\frac\pi2, и поэтому sin⁡x2−x12>0.\sin\frac{x_2-x_1}{2}>0.

sin⁡x2−sin⁡x1>0,\sin x_2-\sin x_1>0, то есть sin⁡x2>sin⁡x1\sin x_2>\sin x_1.

Проверка

sin⁡x строго возрастает на [−π2,π2].\boxed{
\sin x
\text{ строго возрастает на }
\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 215 — решение