Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 226

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить обратную функцию

x=\varphi(y)

и ее область существования, если:

y=\frac{1-x}{1+x}\qquad(x\ne-1).

Решение

Идея

Выразим

x

через

y

y=\frac{1-x}{1+x}.

Умножаем обе части на

1+x

y(1+x)=1-x.

Раскрываем скобки:

y+yx=1-x.

Переносим слагаемые, содержащие

x

, в одну сторону:

yx+x=1-y.

Выносим

x

x(y+1)=1-y.

x=\frac{1-y}{1+y}.

При этом знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому

y\neq-1.

Проверка

\boxed{x=\varphi(y)=\frac{1-y}{1+y},\qquad y\neq-1}.