Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 232

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 232

Доказать, что всякую функцию f(x)f(x), определенную в симметричном интервале (−l,l)(-l,l), можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Доказательство

Представим функцию f(x)f(x) в виде f(x)=f(x)+f(−x)2+f(x)−f(−x)2.f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}.

Обозначим φ(x)=f(x)+f(−x)2,ψ(x)=f(x)−f(−x)2.\varphi(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \quad \psi(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.

f(x)=φ(x)+ψ(x).f(x)=\varphi(x)+\psi(x).
Проверим четность функции φ\varphi: φ(−x)=f(−x)+f(x)2=f(x)+f(−x)2=φ(x).\varphi(-x)
=
\frac{f(-x)+f(x)}{2}
=
\frac{f(x)+f(-x)}{2}
=
\varphi(x). Отсюда φ(x)\varphi(x) — четная функция.
Теперь проверим функцию ψ\psi: ψ(−x)=f(−x)−f(x)2=−f(x)−f(−x)2=−ψ(x).\psi(-x) = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = -\frac{f(x)-f(-x)}{2} = -\psi(x). Значит, ψ(x)\psi(x) — нечетная функция.
f(x)=f(x)+f(−x)2+f(x)−f(−x)2f(x)
=
\frac{f(x)+f(-x)}{2}
+
\frac{f(x)-f(-x)}{2} есть представление произвольной функции как суммы четной и нечетной функций.

Что и требовалось доказать

Демидович № 232 — решение | Высшая математика — Профиматика