Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 220

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что следующие функции являются монотонно убывающими в указанных промежутках:

Задача 220

f(x)=ctg⁡x(0<x<π).f(x)=\operatorname{ctg}x\qquad(0<x<\pi).

Доказательство

Идея

f(x)=ctg⁡x,0<x<π.f(x)=\operatorname{ctg}x,\qquad 0<x<\pi. Возьмем 0<x1<x2<π0<x_1<x_2<\pi. Рассмотрим разность ctg⁡x2−ctg⁡x1.\operatorname{ctg}x_2-\operatorname{ctg}x_1. Записываем котангенс через синус и косинус: ctg⁡x2−ctg⁡x1=cos⁡x2sin⁡x2−cos⁡x1sin⁡x1.\operatorname{ctg}x_2-\operatorname{ctg}x_1
=
\frac{\cos x_2}{\sin x_2}
-
\frac{\cos x_1}{\sin x_1}. Приводим к общему знаменателю: =cos⁡x2sin⁡x1−cos⁡x1sin⁡x2sin⁡x1sin⁡x2.=
\frac{
\cos x_2\sin x_1-\cos x_1\sin x_2
}{
\sin x_1\sin x_2
}. Числитель равен sin⁡(x1−x2)=−sin⁡(x2−x1).\sin(x_1-x_2)=-\sin(x_2-x_1). ctg⁡x2−ctg⁡x1=−sin⁡(x2−x1)sin⁡x1sin⁡x2.\operatorname{ctg}x_2-\operatorname{ctg}x_1
=
-\frac{\sin(x_2-x_1)}{\sin x_1\sin x_2}.
Поскольку 0<x1,x2<π0<x_1,x_2<\pi, sin⁡x1>0,sin⁡x2>0\sin x_1>0,\quad \sin x_2>0.

Кроме того, 0<x2−x1<π0<x_2-x_1<\pi, так что sin⁡(x2−x1)>0\sin(x_2-x_1)>0. ctg⁡x2−ctg⁡x1<0.\operatorname{ctg}x_2-\operatorname{ctg}x_1<0. То есть ctg⁡x2<ctg⁡x1\operatorname{ctg}x_2<\operatorname{ctg}x_1.

Проверка

ctg⁡x строго убывает на (0,π).\boxed{
\operatorname{ctg}x
\text{ строго убывает на }(0,\pi)
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 220 — решение