Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 227

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить обратную функцию x=φ(y)x=\varphi(y) и ее область существования, если:

Задача 227

y=1−x2;а) −1≤x≤0;б) 0≤x≤1.y=\sqrt{1-x^2};\qquad \text{а) }-1\le x\le0;\qquad \text{б) }0\le x\le1.

Решение

Идея

y=1−x2.y=\sqrt{1-x^2}. Возводим обе части в квадрат: y2=1−x2.y^2=1-x^2.
  1. 1
    x2=1−y2,x=±1−y2.x^2=1-y^2,\qquad x=\pm\sqrt{1-y^2}.
  2. 2
    Для существования корня нужно 1−y2≥0,1-y^2\geq0, то есть −1≤y≤1.-1\leq y\leq1. Кроме того, из исходного равенства y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} следует y≥0y\geq0. 0≤y≤1.0\leq y\leq1.
  3. 3

    Пункт а)

    −1≤x≤0-1\leq x\leq0.

    Поскольку x≤0x\leq0, выбираем отрицательный корень: x=φ(y)=−1−y2,0≤y≤1.\boxed{
    x=\varphi(y)=-\sqrt{1-y^2},\qquad 0\leq y\leq1
    }.
  4. 4

    Пункт б)

    0≤x≤10\leq x\leq1.

Проверка

Так как x≥0x\geq0, выбираем положительный корень: x=φ(y)=1−y2,0≤y≤1.\boxed{
x=\varphi(y)=\sqrt{1-y^2},\qquad 0\leq y\leq1
}.
Демидович № 227 — решение