Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1245

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1245

Верна ли формула конечных приращений для функцииf(x)=1xf(x)=\frac1xна сегменте [a,b][a,b], если ab<0ab<0?

Решение

Идея

Формула конечных приращений (теорема Лагранжа) утверждает, что если функция непрерывна на отрезке [a,b][a, b] и дифференцируема на интервале (a,b)(a, b), то существует такая точка c∈(a,b)c \in (a, b), для которой выполняется равенствоf(b)−f(a)b−a=f′(c)\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)По условию задано, что ab<0ab < 0
Это означает, что концы отрезка имеют разные знаки и точка x=0x = 0 обязательно принадлежит интервалу (a,b)(a, b)
В точке x=0x = 0 функция f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} терпит разрыв второго рода, поэтому она не является непрерывной на отрезке [a,b][a, b] и не является дифференцируемой на интервале (a,b)(a, b)
Следовательно, базовые условия теоремы Лагранжа не выполнены

Проверка

Для наглядности можно показать это аналитически, составив саму формулу для данной функции1b−1ab−a=−1c2\frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a} = -\frac{1}{c^2}Упростим левую частьa−bab(b−a)=−1ab\frac{a - b}{ab(b - a)} = -\frac{1}{ab}Подставляя это в исходное уравнение, получаем−1ab=−1c2  ⟹  c2=ab-\frac{1}{ab} = -\frac{1}{c^2} \implies c^2 = abПоскольку ab<0ab < 0, уравнение c2=abc^2 = ab не имеет действительных решений
Значит, такой точки cc не существует и формула конечных приращений в данном случае неверна
Демидович № 1245 — решение